Dowód przy porównaniu funkcji
-
jakub1998
- Użytkownik
- Posty: 139
- Rejestracja: 24 lis 2015, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
Dowód przy porównaniu funkcji
Mam udowodnić \(\displaystyle{ x^3<1.5e^x}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\). Próbowałem coś wyznaczyć poprzez funkcję Lamberta, wyszło mi coś w stylu \(\displaystyle{ \ln x^{-1} < W( - \frac{\ln1.5 + 1}{3} ) }\), ale wyznaczyłem te pierwiastki i nie wiem co dalej z tym zrobić. Jest jakiś inny sposób na to?
Ostatnio zmieniony 8 mar 2020, o 19:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Dilectus
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Dowód przy porównaniu funkcji
Zlogarytmuj obie strony tej nierówności. Możesz to zr:obić, bo \(\displaystyle{ x>0}\)
Z lewej strony będziesz miał funkcję logarytmiczną, a z prawej - liniową.
\(\displaystyle{ x^3<1.5e^x}\)
\(\displaystyle{ \ln x^3< \ln 1.5e^x}\)
\(\displaystyle{ 3\ln x<\ln 1,5+ x }\)
\(\displaystyle{ \ln x< \frac{1}{3}\ln 1,5+ \frac{1}{3} x }\)
Teraz pokaż, że wykres prostej \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}\ln (1,5)}\) leży nad wykresem funkcji \(\displaystyle{ y=\ln x}\)
Z lewej strony będziesz miał funkcję logarytmiczną, a z prawej - liniową.
\(\displaystyle{ x^3<1.5e^x}\)
\(\displaystyle{ \ln x^3< \ln 1.5e^x}\)
\(\displaystyle{ 3\ln x<\ln 1,5+ x }\)
\(\displaystyle{ \ln x< \frac{1}{3}\ln 1,5+ \frac{1}{3} x }\)
Teraz pokaż, że wykres prostej \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}\ln (1,5)}\) leży nad wykresem funkcji \(\displaystyle{ y=\ln x}\)
Ostatnio zmieniony 8 mar 2020, o 22:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
