Układ równań

[41421356]

\(\displaystyle{ \begin{cases} y^2=\lambda\cdot 2\left(x+3\right)\\2xy-2=\lambda\cdot 2y\\ \left(x+3\right)^2+y^2-2=0\end{cases}}\)

Jakieś pomysły?

[kerajs]

Pomysł: mieć równanie z jedną niewiadomą:

Dla \(\displaystyle{ x=-3}\) układ jest sprzeczny.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \lambda =\frac{y^2}{ 2\left(x+3\right)} \wedge x \neq -3\\
2xy-2= \frac{y^3}{x+3} \\ \left(x+3\right)^2+y^2-2=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \lambda =\frac{y^2}{ 2\left(x+3\right)} \wedge x \neq -3\\
2(x_3 -3)y-2= \frac{y^3}{x+3} \\ \left(x+3\right)^2+y^2-2=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \lambda =\frac{y^2}{ 2\left(x+3\right)} \wedge x \neq -3\\
2(x+3 -3)y-2= \frac{y^3}{x+3} \\ x+3= \sqrt{2- y^2} \end{cases} \vee \begin{cases} \lambda =\frac{y^2}{ 2\left(x+3\right)} \wedge x \neq -3\\
2(x+3 -3)y-2= \frac{y^3}{x+3} \\ x+3= -\sqrt{2- y^2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{
2(\sqrt{2- y^2} -3)y-2= \frac{y^3}{\sqrt{2- y^2}} \ \ \ \ \vee \ \ \ \ 2(-\sqrt{2- y^2} -3)y-2= \frac{y^3}{-\sqrt{2- y^2}} }\)

PS
A gdyby ten okrąg, po którym szukasz ekstremum, podzielić na łuki \(\displaystyle{ x_1=-3+ \sqrt{2-y^2} }\) oraz \(\displaystyle{ x_2=-3- \sqrt{2-y^2} }\) i szukać ekstremum z funkcji jednej zmiennej? (+sprawdzenie miejsca łączenia łuków)

[Premislav]

Taka myśl: ten układ równań rozwiązujesz zapewne w celu znalezienia ekstremów funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=xy^{2}-2y}\) (albo jakiejś różniącej się o stałą, co oczywiście nie robi specjalnej różnicy przy rozwiązaniu) przy warunku \(\displaystyle{ (x+3)^{2}+y^{2}=2}\) za pomocą mnożników Lagrange'a.
Można ominąć mnożniki, po prostu wstawiając (trzeba rozważyć dwa przypadki)
\(\displaystyle{ y=\sqrt{2-(x+3)^{2}}}\) bądź też \(\displaystyle{ y=-\sqrt{2-(x+3)^{2}}}\)
W obydwu przypadkach dostajesz do zbadania funkcję jednej zmiennej, odpowiednio
\(\displaystyle{ x\left(2-(x+3)^{2}\right)-2\sqrt{2-(x+3)^{2}}}\) oraz \(\displaystyle{ x\left(2-(x+3)^{2}\right)+2\sqrt{2-(x+3)^{2}}}\)
Dla uproszczenia obliczeń można jeszcze w obu przypadkach wstawić \(\displaystyle{ t=x+3}\)…

[41421356]

Dziękuję bardzo za wskazówki, oczywiście docelowo chodzi o znalezienie ekstremów funkcji przy pewnym warunku. Czy tą metodą mnożników Lagrange'a da się jakoś sensownie ten układ rozwiązać?