Wyznacz wzór Taylora

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
1KAER1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 11 lut 2020, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 7 razy

Wyznacz wzór Taylora

Post autor: 1KAER1 »

Witam!

Miałem zadanie z wyznaczaniem wzoru Taylora stopnia \(\displaystyle{ n}\) z funkcji \(\displaystyle{ f}\) przy \(\displaystyle{ x_{0}}\), dla:

\(\displaystyle{ f(x) = \sin x, n = 5, x_{0} = \pi }\)

Chciałem spytać czy moje rozwiązanie jest poprawne.

Wyznaczam 5 pochodnych

\(\displaystyle{ f'(x) = \cos x\\
f''(x) = -\sin x\\
f'''(x) = -\cos x\\
f''''(x) = \sin x\\
f'''''(x) = \cos x}\)


Liczę wartości dla funkcji i pochodnych w \(\displaystyle{ x_{0}}\)

\(\displaystyle{ f(x_{0}) = \sin\pi = 0}\)
\(\displaystyle{ f'(x_{0}) = \cos\pi = -1}\)
\(\displaystyle{ f''(x_{0}) = -\sin\pi = 0}\)
\(\displaystyle{ f'''(x_{0}) = -\cos\pi = 1}\)
\(\displaystyle{ f''''(x_{0}) = \sin\pi = 0}\)
\(\displaystyle{ f'''''(x_{0}) = \cos\pi = -1}\)

Dla punktu pośredniego \(\displaystyle{ c_{x}, f'''''(c_{x}) = \cos(c_{x}) }\)

Wzór:
\(\displaystyle{
f(x) = 0 + \frac{-1}{1!}(x-\pi)+ \frac{0}{2!}(x-\pi)^{2}+\frac{1}{3!}(x-\pi)^{3}+\frac{0}{4!}(x-\pi)^{4}+\frac{\cos(c_{x})}{5!}(x-\pi)^{5}
}\)

\(\displaystyle{
f(x) = -(x-\pi)+ \frac{1}{6}(x-\pi)^{3}+ \frac{\cos(c_{x})}{5!}(x-\pi)^{5}
}\)
Ostatnio zmieniony 24 lut 2020, o 15:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Wyznacz wzór Taylora

Post autor: janusz47 »

Wzór poprawny. Do jakiego przedziału należy wartość \(\displaystyle{ c_{x} ? }\)

Nie używamy czterech, czy pięciu apostrofów dla rzędu czwartego i piątego pochodnej. Piszemy \(\displaystyle{ f^{(4)} (x), \ \ f^{(5)}(x) }\) na oznaczenie pochodnych rzędu czwartego i piątego.
ODPOWIEDZ