Pochodna, pytanie do matury.

[darktofun]

Witam, przerabiam właśnie zbiór Kiełbasy i jest jedna rzecz, która nie daje mi spokoju.
Mianowicie określając monotoniczność funkcji np. \(\displaystyle{ f(x)=x^{3}}\) dla punktu \(\displaystyle{ x=0}\) pochodna jest równa \(\displaystyle{ 0}\).
I czy w takim przypadku powinienem brać \(\displaystyle{ x=0}\) do przedziału monotonicznośći dla \(\displaystyle{ f(x)}\) rosnącej? Czy powinienem wyłączyć ten punkt i napisać, że \(\displaystyle{ f(x)}\) rosnąca tylko dla \(\displaystyle{ ( -\infty,0) ; (0, \infty)}\)
W książce nie jest to brane pod uwagę w żadnym zadaniu, po prostu ten punkt biorą jako rosnący.

[Benny01]

Nie masz tam nigdzie zmiany monotoniczności. Również Twoja funkcja ciągła, więc czemu miałbyś ten punkt wyrzucić?

[JHN]

Ponieważ można wykazać rośnięcie funkcji \(\displaystyle{ y=f(x)=x^3}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \RR}\), to i "pochodna" nie może temu zaprzeczyć!

Pozdrawiam

[a4karo]

Przeczytaj bardzo uważnie definicję funkcji rosnącej, a potem twierdzenie o związku monotoniczności z pochodną. To twierdzenie "działa" w jedną stronę: jeżeli pochodna jest dodatnia w przedziale, to funkcja rośnie. Tutaj pochodna nie jest dodatnia, więc twierdzenia nie da sie zastosować. Ale oprócz tego twierdzenia masz definicję. I właśnie z niej należy tu skorzystać.

Wsk \(y^3-x^3=(y-x)\red{(x^2+xy+y^2)}\).
Co powiesz o znaku czerwonego kawałka?

[Dasio11]

Podpisuję się pod postem a4karo, ale jeśli koniecznie chciałbyś swoje zadanie rozwiązać z użyciem pochodnej, to możesz skorzystać z wariantu wspomnianego faktu: jeśli funkcja \(\displaystyle{ f : [a, \infty) \to \RR}\) jest ciągła na przedziale \(\displaystyle{ [a, \infty)}\) i różniczkowalna na \(\displaystyle{ (a, \infty)}\), a ponadto \(\displaystyle{ f'(x) > 0}\) dla \(\displaystyle{ x > a}\), to \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ [a, \infty)}\). Stosując ów wariant, otrzymujemy że funkcja \(\displaystyle{ x^3}\) jest rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ [0, \infty)}\) oraz - za sprawą wariantu symetrycznego - jest rosnąca na \(\displaystyle{ (-\infty, 0]}\), zatem po prostu jest rosnąca na \(\displaystyle{ \RR}\).

Odradzałbym jednak takie podejście na maturze, bo o ile wspomniany wcześniej związek pochodnej funkcji z jej monotonicznością jest faktem klasycznym, to jego warianty już klasyczne nie są - sprawdzający mógłby więc oczekiwać nie tylko pełnego ich sformułowania, ale i przedstawienia dowodu.

[darktofun]

Ok, czyli po prostu biorę ten punkt do przedziału. Zasugerowałem się tym, że na wykresie tej funkcji w bliskim otoczeniu 0 jest stała. Dzięki za pomoc

[a4karo]

Ciekawe jak stwierdziłeś, że ta funkcja jest stała w pobliżu zera? Nie wierz w obrazki, ona jest ŚCIŚLE rosnąca (choć rzeczywiście koło zera dość płaska)