Pochodne cząstkowe w twierdzeniu cosinusów.

[pranxter]

Witam, chciałbym prosić o pomoc w wyprowadzeniu wzoru na błąd średni długości obliczonej z twierdzenia cosinusów.
Chodzi o prawo przenoszenia błędów średnich Gaussa, w którym pod pierwiastkiem występują iloczyny pochodnych cząstkowych funkcji po każdej zmiennej i błędów średnich pomiaru tych zmiennych.

Chodzi mianowicie o to, jak policzyć pochodne cząstkowe po zmiennej \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\) ze wzoru na długość \(\displaystyle{ c= \sqrt{ a^{2}+ b^{2}-2ab \cos \alpha} }\).
Potrafię policzyć pochodne z cząstkowe po każdej zmiennej z wyrażenia pod pierwiastkiem, tylko nie wiem co z tym pierwiastkiem zrobić.

Dodano po 7 minutach 7 sekundach:
Uściślę jeszcze, że chodzi o wzór na prawo przenoszenia błędów średnich o następującej postaci:
\(\displaystyle{ m_{c} = \sqrt{\left( \frac{ \partial c}{ \partial a} \right)^{2} m_{a}^{2}+\left( \frac{ \partial c}{ \partial b} \right)^{2} m_{b}^{2}+\left( \frac{ \partial c}{ \partial \alpha } \right)^{2} m_{ \alpha }^{2} }.}\)

Jak ze wzoru na \(\displaystyle{ c}\) w tw. cosinusów wyznaczyć te 3 pochodne cząstkowe?

[Kordyt]

Nie bardzo rozumiem.
Nie znasz definicji pochodnych cząstkowych czy nie umiesz policzyć takich pochodnych konkretnie dla podanego przykładu ?

[pranxter]

Definicje znam, udało mi się policzyć dla kilku innych, prostszych funkcji kilku zmiennych, nie umiem sobie poradzić z tym przypadkiem. Gdyby nie ten pierwiastek w tw. cosinusów, to by nie było problemu. Ten pierwiastek mi przeszkadza:)

[Kordyt]

Pierwiastek sugeruje zastosowanie twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej.

[janusz47]

\(\displaystyle{ c = \sqrt{a^2 +b^2 -2ab\cos(\alpha)}.}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial c}{ \partial a} = \frac{2a -2b\cos(\alpha)}{2\sqrt{a^2 + b^2 -2ab\cos(\alpha)}} = \frac{a - b\cos(\alpha)}{\sqrt{a^2+b^2 -2ab\cos(\alpha)}}, }\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial c}{ \partial b} = \frac{2b -2a\cos(\alpha)}{2\sqrt{a^2 + b^2 -2ab\cos(\alpha)}} =\frac{b -a\cos(\alpha)}{\sqrt{a^2 + b^2 -2ab\cos(\alpha)}}, }\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial c}{\partial \alpha}=\frac{2a b\sin(\alpha)}{2\sqrt{a^2 + b^2 -2ab\cos(\alpha)}}= \frac{ab\sin(\alpha)}{\sqrt{a^2 + b^2 -2ab\cos(\alpha)}}. }\)

[pranxter]

Bardzo dziękuję janusz47. Mam jeszcze przypadek szczególny tego zadania dla trójkąta równoramiennego ale teraz już sobie poradzę

Zadanie rozwiązane.