Mam takie zadanie:
Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y,z) =xy+yz+zx}\) na sferze jednostkowej \(\displaystyle{ \{(x,y,z) :x^2+y^2+z^2= 1\}.}\)
Próbowałem użyć twierdzenia mnożnikowego Lagrang'e i otrzymuje wtedy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y+z = 2x \lambda \\ x+z = 2y \lambda \\ y+z = 2z \lambda \\ x^2 + y^2 + z^2 = 1\end{cases}}\)
Ale wychodzi mi masło maślane i nie potrafię uzyskać nic sensownego, proszę o pomoc.
Znajdź ekstrema funkcji trzech zmiennych na sferze jednostkowej
-
Leoneq
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 15 razy
Znajdź ekstrema funkcji trzech zmiennych na sferze jednostkowej
Ostatnio zmieniony 8 lut 2020, o 10:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Znajdź ekstrema funkcji trzech zmiennych na sferze jednostkowej
Maksimum łatwo ustalić tak:
\(\displaystyle{ 2-2(xy+yz+zx)=2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-2(xy+yz+zx)=(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\ge 0}\)
z równością dla \(\displaystyle{ x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}}\) oraz \(\displaystyle{ x=y=z=-\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
Ale pewnie znowu musisz z mnożników, więc najpierw wprowadzę korektę układu równań, który dostałeś:
\(\displaystyle{ \begin{cases}y+z=2x\lambda\\x+z=2y\lambda\\x+y=2z\lambda\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\end{cases}}\)
a następnie zaproponuję odjęcie stronami drugiego równania od pierwszego i wyłączenie czynnika \(\displaystyle{ (y-x)}\). Podobnie można postąpić odejmując stronami trzecie równanie od drugiego i wywnioskujemy pewnie, że ekstremum warunkowe musi być przyjmowane, gdy pewne dwie zmienne są równe lub gdy ich suma wynosi zero.
\(\displaystyle{ 2-2(xy+yz+zx)=2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-2(xy+yz+zx)=(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\ge 0}\)
z równością dla \(\displaystyle{ x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}}\) oraz \(\displaystyle{ x=y=z=-\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
Ale pewnie znowu musisz z mnożników, więc najpierw wprowadzę korektę układu równań, który dostałeś:
\(\displaystyle{ \begin{cases}y+z=2x\lambda\\x+z=2y\lambda\\x+y=2z\lambda\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\end{cases}}\)
a następnie zaproponuję odjęcie stronami drugiego równania od pierwszego i wyłączenie czynnika \(\displaystyle{ (y-x)}\). Podobnie można postąpić odejmując stronami trzecie równanie od drugiego i wywnioskujemy pewnie, że ekstremum warunkowe musi być przyjmowane, gdy pewne dwie zmienne są równe lub gdy ich suma wynosi zero.