Pochodna odwzorowania wieloliniowego

[strefa61]

Cześć, mam problem ze zrozumieniem deifnicji (no, w zasadzie twierdzenia):
Rozważmy odwzorowanie wieloliniowe i ciągłe: \(\displaystyle{ F\in L\left( V_1,...,V_k;W\right) }\) Wtedy zachodzi:
\(\displaystyle{ F'\left( v_1,...,v_k\right) \left( h_1,..,h_k\right) = \sum_{i=1}^{k}F\left( v_1,...,v_{i-1},h_i,v_{i+1},...,v_k\right) }\) i jest to odwzorowanie ponoć \(\displaystyle{ k-1}\) liniowe.
Nie mogę pojąć względem których \(\displaystyle{ k-1}\) zmiennych to jest liniowe:
Prosty przykład:
\(\displaystyle{ F'\left( v_1,...,v_k\right) \left( h_1,..,h_k\right) + F'\left( v_1,...,v_k\right) \left( h'_1,..,h_k\right)=F\left( h_1,...,v_k\right)+F\left( h'_1,...,v_k\right) + 2 \sum_{i=2}^{k}F\left( v_1,...,h_i,..,v_k\right) }\)
zaś:
\(\displaystyle{ F'\left( v_1,...,v_k\right) \left( h_1+h'_1,..,h_k\right) = F\left( h_1,...,v_k\right)+F\left( h'_1,...,v_k\right) + \sum_{i=2}^{k}F\left( v_1,...,h_i,..,v_k\right) }\)
I tak z każdą zmienną \(\displaystyle{ h_i}\). W czym jest problem?

[matmatmm]

\(\displaystyle{ F'\left( v_1,...,v_k\right) \left( h_1,..,h_k\right) = \sum_{i=1}^{k}F\left( v_1,...,v_{i-1},h_i,v_{i+1},...,v_k\right) }\) i jest to odwzorowanie ponoć \(\displaystyle{ k-1}\) liniowe.

Bo to nieprawda jest. Pochodna w dowolnym punkcie jest odwzorowaniem liniowym. W naszym przypadku oznacza to, że

\(\displaystyle{ F' (v)( \alpha h+h')=\alpha F'(v)(h)+F'(v)(h')}\)

, gdzie \(\displaystyle{ v=\left( v_1,...,v_k\right), \alpha\in\mathbb{K}, h=\left( h_1,..,h_k\right), h'=\left( h_1',..,h_k'\right) }\)

[strefa61]

Hmm, spróbuję lepiej poszukać, ale znalazłem takie twierdzenie w kilku miejscach, więc wydaje mi się, że coś w nim jest. (W szczególności pochodna dwuliniowego odwzorowania jest odwzorowaniem liniowym rzeczywiście.

[matmatmm]

No bo wzór jest poprawny. Niepoprawne było stwierdzenie, że to odwzorowanie \(\displaystyle{ k-1}\) liniowe. Nawiasem mówiąc funkcja \(\displaystyle{ F'(v)}\) jest funkcją \(\displaystyle{ k}\) zmiennych, więc mówienie o \(\displaystyle{ k-1}\) liniowości jest dziwne.

[strefa61]

Chyba rzeczywiście masz rację. Poszukałem jeszcze trochę i faktycznie. Dzięki.