Najmniejsza i największa wartość w elipsie - punkty stacjonarne

[gentoo]

Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=3x+3y}\) w elipsie \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{27}+ \frac{y^{2}}{4} \le 1}\)

Czy dobrze myślę, że:
1 )liczymy wartość pochodnych cząstkowych z funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=3x+3y}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} =3 }\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} =3 }\)

2) przyrównujemy to do 0
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} =0 }\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} =0 }\)

3) otrzymujemy sprzeczność
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3=0\\ 3=0\end{cases} }\)

4) To oznacza brak punktu stacjonarnego czyli nie można wyliczyć ekstremów?

[Psiaczek]

To oznacza że wewnątrz nie ma kandydatów na wartości ekstremalne , ale pozostał jeszcze brzeg tej elipsy.

[Premislav]

Skoro \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{4}\le 1}\), to z nierówności Cauchy'ego-Schwarza mamy
\(\displaystyle{ (3x+3y)^{2}\le \left(\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{4}\right)\left(243+36\right)\le 279}\)
i równość zachodzi dokładnie gdy \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{4}=1}\), a wektory \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}\frac{x}{3\sqrt{3}}\\ \frac{y}{2}\end{array}\right), \ \left(\begin{array}{cc}\sqrt{243}\\ 6\end{array}\right)}\) są proporcjonalne, tj.
istnieje takie \(\displaystyle{ t\in \RR}\), że \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}\frac{x}{3\sqrt{3}}\\ \frac{y}{2}\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{cc}9\sqrt{3}\\ 6\end{array}\right)}\)
Po wstawieniu tej ostatniej zależności do warunku \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{4}=1}\) mamy
\(\displaystyle{ 279t^{2}=1}\), tj. \(\displaystyle{ t\in \left\{\frac{1}{3\sqrt{31}}, -\frac{1}{3\sqrt{31}} \right\}}\)
Innymi słowy
\(\displaystyle{ -3\sqrt{31}=-\sqrt{279}\le 3x+3y\le \sqrt{279}=3\sqrt{31}}\)
i równość w pierwszej nierówności zachodzi, gdy
\(\displaystyle{ \frac{x}{3\sqrt{3}}=-\frac{1}{3\sqrt{31}}\cdot 9\sqrt{3}, \ \frac{y}{2}=-\frac{1}{3\sqrt{31}}\cdot 6}\), a równość w drugiej nierówności ma miejsce, gdy \(\displaystyle{ \frac{x}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{3\sqrt{31}}\cdot 9\sqrt{3}, \ \frac{y}{2}=\frac{1}{3\sqrt{31}}\cdot 6}\)

Dodano po 3 minutach 17 sekundach:
A jeśli to zbyt „sztuczkowe", to sytuację na brzegu można zbadać, parametryzując brzeg tej elipsy np. tak: \(\displaystyle{ x=3\sqrt{3}\cos \phi, \ y=2\sin \phi, \ \phi\in [0,2\pi)}\)
Wtedy \(\displaystyle{ 3x+3y=9\sqrt{3}\cos \phi+6\sin \phi}\) i masz do rozważenia funkcję jednej zmiennej, a z tym sobie poradzisz (można też nie różniczkować, tylko dalej skorzystać sprytnie ze sprowadzenia do wzoru na sinus sumy).

[gentoo]

Czyli tak nie można dalej? Na zajęciach był taki sposób a przykład jednak inny stąd wątpliwości:
elipse przekształce do \(\displaystyle{ 4 x^{2}+27 y^{2} -108 =0 }\)
\(\displaystyle{ L(x,y,λ) = 3x+3y+λ(4 x^{2}+27 y^{2} -108) }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial f}{ \partial x} = 3+8xλ \\ \frac{ \partial f}{ \partial y} = 3+54xλ \\ \frac{ \partial f}{ \partial λ} = 4 x^{2}+27 y^{2} -108 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3+8xλ =0 \\ 3+54xλ =0 \\ 4 x^{2}+27 y^{2} -108 =0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y = \frac{4}{27}x }\)
\(\displaystyle{ x= \frac{27}{ \sqrt{31} } \vee x= -\frac{27}{ \sqrt{31} } }\)
\(\displaystyle{ y= \frac{4}{ \sqrt{31} } \vee y=- \frac{4}{ \sqrt{31} } }\)

Punkty krytyczne:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{27}{ \sqrt{31} } \\ y= \frac{4}{ \sqrt{31} } \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{27}{ \sqrt{31} } \\ y= - \frac{4}{ \sqrt{31} } \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= - \frac{27}{ \sqrt{31} } \\ y= \frac{4}{ \sqrt{31} } \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= - \frac{27}{ \sqrt{31} } \\ y= - \frac{4}{ \sqrt{31} } \end{cases} }\)

Wartości funkcji w tych punktach:
\(\displaystyle{ f( \frac{27}{ \sqrt{31} }, \frac{4}{ \sqrt{31} }) = 3 \sqrt{31}
}\) max
\(\displaystyle{ f( \frac{27}{ \sqrt{31} }, \frac{4}{ \sqrt{31} }) =
}\)
\(\displaystyle{ f( \frac{27}{ \sqrt{31} }, \frac{4}{ \sqrt{31} }) =
}\)
\(\displaystyle{ f( \frac{27}{ \sqrt{31} }, \frac{4}{ \sqrt{31} }) = -3 \sqrt{31}
}\) min

[kerajs]

Można jeszcze podzielić elipsę na dwie półelipsy:
\(\displaystyle{ y_1=2 \sqrt{1- \frac{x^2}{27} } \vee y_2=-2 \sqrt{1- \frac{x^2}{27} }}\)
i szukać ekstremum funkcji jednej zmiennej
\(\displaystyle{ a) \\
f(x)=3x+6 \sqrt{1- \frac{x^2}{27} } \\
b) \\
f(x)=3x-6 \sqrt{1- \frac{x^2}{27} } }\)
co da takie same wyniki jak powyżej.