Cześć
Chcę się spytać czy dobrze robię zadanie.
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x,y) = (x - 2)^2 + (y - 2)^2}\) w prostokącie ograniczonym prostymi: \(\displaystyle{ y = 0, x = 0, x = 5}\) i \(\displaystyle{ y =1}\).
Wyszło mi że jest to punkt \(\displaystyle{ P(2,1) = 1}\) ale nie wiem czy to dobry wynik.
Dzięki z góry za pomoc.
Najmniejsza wartość funkcji dwóch zmiennych w prostokącie.
Najmniejsza wartość funkcji dwóch zmiennych w prostokącie.
Ostatnio zmieniony 27 sty 2020, o 23:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Najmniejsza wartość funkcji dwóch zmiennych w prostokącie.
Oczywiście taki prostokąt jest zbiorem zwartym, więc ma tu zastosowanie tw. Weierstrassa: funkcja ciągła określona na niepustym zbiorze zwartym osiąga swoje kresy na tym zbiorze.
Funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)}\) ma jedyny punkt krytyczny \(\displaystyle{ (2,2)}\) (prosty rachunek pochodnych cząstkowych), który nie leży w prostokącie z treści zadania, więc wystarczy sprawdzić wartości na brzegu tego prostokąta, tj. funkcje jednej zmiennej
\(\displaystyle{ f(0, y), \ y\in[0,1], \ f(x,0), \ x\in[0,5], \ f(x,1), \ x\in[0,5], \ f(5,y), \ y\in [0,1]}\)
a to jest proste.
Dodano po 4 minutach 54 sekundach:
Oczywiście można się nie wdawać w takie rachunki, tylko stwierdzić, że w omawianym obszarze jest
\(\displaystyle{ (x-2)^{2}+(y-2)^{2}\ge (y-2)^{2}\ge 1}\),
przy czym ta ostatnia to równoważnie \(\displaystyle{ (y-1)(y-3)\ge 0}\) (oba czynniki są niedodatnie w \(\displaystyle{ [0,1]}\), więc iloczyn jest nieujemny)
i równość w pierwszej nierówności jest dla \(\displaystyle{ x=2}\), a w drugiej dla \(\displaystyle{ y=1}\), ale to takie zgadywanie trochę, nie zawsze tak łatwo się coś zauważy.
Funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)}\) ma jedyny punkt krytyczny \(\displaystyle{ (2,2)}\) (prosty rachunek pochodnych cząstkowych), który nie leży w prostokącie z treści zadania, więc wystarczy sprawdzić wartości na brzegu tego prostokąta, tj. funkcje jednej zmiennej
\(\displaystyle{ f(0, y), \ y\in[0,1], \ f(x,0), \ x\in[0,5], \ f(x,1), \ x\in[0,5], \ f(5,y), \ y\in [0,1]}\)
a to jest proste.
Dodano po 4 minutach 54 sekundach:
Oczywiście można się nie wdawać w takie rachunki, tylko stwierdzić, że w omawianym obszarze jest
\(\displaystyle{ (x-2)^{2}+(y-2)^{2}\ge (y-2)^{2}\ge 1}\),
przy czym ta ostatnia to równoważnie \(\displaystyle{ (y-1)(y-3)\ge 0}\) (oba czynniki są niedodatnie w \(\displaystyle{ [0,1]}\), więc iloczyn jest nieujemny)
i równość w pierwszej nierówności jest dla \(\displaystyle{ x=2}\), a w drugiej dla \(\displaystyle{ y=1}\), ale to takie zgadywanie trochę, nie zawsze tak łatwo się coś zauważy.