Równanie różniczkowe

[Albi]

Witam po raz kolejny. Tym razem nie potrafię sobie poradzić z takim zadaniem:
Rozwiązać równanie różniczkowe metodą klasyczną:
\(\displaystyle{ y'' -2y' +2y = 6x + 4}\), \(\displaystyle{ y(0) = 1, y'(0) = 6}\)

[Premislav]

Co to jest metoda klasyczna? Nigdy nie spotkałem się z takim nazewnictwem, a wielu klientów myli kubełek Classic z zestawem Classic.

Istnieje kilka sposobów na rozwiązanie tego równania. Najszybsze to metoda przewidywań i metoda wykorzystująca własności transformaty Laplace'a.
Jednak jeśli ktoś mówi o metodzie klasycznej, to (o zgrozo) przypomina mi się coś takiego (ale może to nie to, taka nazwa u mnie na wykładzie nie padła): najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne \(\displaystyle{ y''-2y'+2y=0}\) korzystając z metody równania charakterystycznego, a następnie stosujemy metodę uzmienniania stałych. Fuj. To jest dużo nużących rachunków.

[Albi]

Tak, prawdopodobnie chodzi o metodę z uzmiennianiem stałej i rachunki faktycznie nie są zbyt przyjemne

[Jan Kraszewski]

To jest dużo nużących rachunków.

E tam. Przecież w tym przypadku łatwo zgadnąć rozwiązanie szczególne tego równania, więc rachunków prawie nie ma.

JK

[Albi]

A w metodzie uzmienniania stałych nie chodzi właśnie o to by nie zgadywać?

[Premislav]

Tak, właśnie chodzi, papieska łapka w dół dla JK za nieczytanie.


Pokażę może, jak można w tym zadaniu skorzystać z własności transformaty Laplace'a. Jest dłuższa niż metoda przewidywań, ale akurat takie rachunki to ja lubię.
Transformujemy sobie obie strony równania i korzystamy ze wzorków:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{y' \right\}(s)=s\mathcal{L}\left\{y\right\}(s)-y(0)\\\mathcal{L}\left\{y''\right\}(s)=s^{2}\mathcal{L}\left\{y\right\}(s)-sy(0)-y'(0)}\)
Dla uproszczenia zapisu przyjmijmy tutaj \(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{y\right\}(s)=Y(s)}\). Dostajemy:
\(\displaystyle{ s^{2}Y(s)-s-6-2sY(s)+2+2Y(s)=\int_{0}^{\infty}(6x+4)e^{-sx}\mbox{d}x\\ Y(s)\left(s^{2}-2s+2\right)=s+4+\frac{6}{s^{2}}+\frac{4}{s}\\Y(s)=\frac{s+4+\frac{6}{s^{2}}+\frac{4}{s}}{s^{2}-2s+2}\\Y(s)=\frac{s^{3}+4s^{2}+4s+6}{s^{2}\left(s^{2}-2s+2\right)}}\)
To się rozkłada (nad rzeczywistymi, nad zespolonymi można brnąć dalej, ale nie ma potrzeby) na takie ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{s^{3}+4s^{2}+4s+6}{s^{2}\left(s^{2}-2s+2\right)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{Cs+D}{s^{2}-2s+2}}\)
Sprowadzamy to do wspólnego mianownika i przyrównujemy liczniki jako wielomiany (tj. mają być one tożsamościowo równe):
\(\displaystyle{ s^{3}+4s^{2}+4s+6=As\left(s^{2}-2s+2\right)+B\left(s^{2}-2s+2\right)+s^{2}\left(Cs+D\right)\\\begin{cases}A+C=1\\-2A+B+D =4\\ 2A-2B=4\\ 2B=6\end{cases}}\)
Z ostatniego równania łatwo dostajemy \(\displaystyle{ B=3}\), wstawiamy do przedostatniego i mamy \(\displaystyle{ A=5}\), to z kolei wstawiamy do pierwszego równania i otrzymujemy \(\displaystyle{ C=-4}\), ponadto podstawiając w drugim równaniu \(\displaystyle{ A=5, \ B=3}\) bez trudu wyliczamy \(\displaystyle{ D=11}\). A zatem jest
\(\displaystyle{ Y(s)=\frac{5}{s}+\frac{3}{s^{2}}+\frac{-4s+11}{s^{2}-2s+2}}\)
Teraz skorzystamy z liniowości transformaty Laplace'a, tego, że dla funkcji ciągłych transformata Laplace'a jest odwzorowaniem bijektywnym i z podstawowych wzorów z tablicy transformat:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ax+b\right\}=\frac{a}{s^{2}}+\frac{b}{s}\\\mathcal{L}\left\{\sin(ax)\right\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\\\mathcal{L}\left\{\cos (ax)\right\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}}\)
zatem
\(\displaystyle{ \frac{5}{s}+\frac{3}{s^{2}}=\mathcal{L}\left\{3x+5 \right\}\\ \frac{-4s+11}{s^{2}-2s+2}=\frac{-4(s-1)}{(s-1)^{2}+1}+\frac{7}{(s-1)^{2}+1}=\mathcal{L}\left\{e^{x}\left(-4\cos x+7\sin x\right)\right\}\\\frac{5}{s}+\frac{3}{s^{2}}+\frac{-4s+11}{s^{2}-2s+2}=\mathcal{L}\left\{ 3x+5+e^{x}\left(-4\cos x+7\sin x\right)\right\}\\y=3x+5+e^{x}\left(-4\cos x+7\sin x\right)}\)

Dodano po 8 minutach 15 sekundach:
A metodą przewidywań byłoby tak:
równanie charakterystyczne odpowiadające równaniu jednorodnemu \(\displaystyle{ y''-2y'+2y=0}\) ma postać \(\displaystyle{ r^{2}-2r+2=0}\), stąd rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać \(\displaystyle{ C_{1}e^{t}\cos t+C_{2}e^{t}\sin t}\). Przewidujemy następnie rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego \(\displaystyle{ y''-2y'+2y=6x+4}\) postaci \(\displaystyle{ y_{s}(x)=ax+b}\). Wstawiając to do równania, otrzymujemy
\(\displaystyle{ -2a+2ax+2b=6x+4}\) i przyrównując obie strony jak wielomiany, mamy \(\displaystyle{ a=3, \ b=5}\)
Czyli rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego ma postać
\(\displaystyle{ y(x)=C_{1}e^{x}\cos x+C_{2}e^{x}\sin x+3x+5}\)
i wystarczy teraz wstawić do warunków \(\displaystyle{ y(0)=1, \ y'(0)=6}\) by wyliczyć odpowiednie wartości \(\displaystyle{ C_{1}, \ C_{2}}\).

[Albi]

Metodę przewidywań znam, Laplace'a poznam w ten weekend. Dziękuję za odpowiedź na post oraz pomoc