Równanie różniczkowe ax+bx+c

[Milanner]

\(\displaystyle{ \left( \frac{dy}{dx} + 3\right) (y+3x-2)=(3x+y)^2}\)

Witam czy odpowiedz do tego zadania to \(\displaystyle{ y = \pm \sqrt{ e^{t}- e^{x}\cdot C} -3x}\) ?? Takie rozwiązanie mi wyszło i chciałbym sie upewnić . Z góry dziękuje

[Jan Kraszewski]

czy odpowiedz do tego zadania to \(\displaystyle{ y = \pm \sqrt{ e^{\red{t}}- e^{x}\cdot C} -3x}\) ??

Na pewno nie. Cóż to jest za zmienna \(\displaystyle{ t}\) ?

JK

[Milanner]

\(\displaystyle{ \frac{dy}{ \dd x } + 3 = \frac{ (3x+y)^{2} }{y +3x-2} }\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{ \dd x } = \frac{ (3x+y)^{2}-3 }{y +3x-2} }\)
\(\displaystyle{ t = 3x +y \rightarrow y = t-3x \rightarrow y' = t' - 3 }\)
\(\displaystyle{ y' = \frac{ t^{2}-3 }{t-2} }\)
\(\displaystyle{ \frac{dt}{ \dd x }= \frac{t}{t-2} }\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t-2}{t} dt = \int_{}^{} dx }\)
\(\displaystyle{ t - 2\ln|t|= x+c / e^{(..)} }\)
\(\displaystyle{ t =\pm \sqrt{ e^{t}- e^{x}\cdot C } }\)
\(\displaystyle{ 3x + y = t = \pm \sqrt{ e^{t}- e^{x}\cdot C } }\)
\(\displaystyle{ y = \pm \sqrt{ e^{t}- e^{x}\cdot C } -3x}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \frac{dy}{ \dd x } + 3 = \frac{ (3x+y)^{2} }{y +3x-2} }\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{ \dd x } = \frac{ (3x+y)^{2}\red{-3} }{y +3x-2} }\)

A to cudo to skąd?

JK

[Milanner]

\(\displaystyle{ \frac{dy}{ \dd x } + 3 = \frac{ (3x+y)^{2} }{y +3x-2} }\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{ \dd x } = \frac{ (3x+y)^{2} }{y +3x-2}-3}\)
\(\displaystyle{ t = 3x +y \rightarrow y = t-3x \rightarrow y' = t' - 3 }\)
\(\displaystyle{ y' = \frac{ t^{2} }{t-2}-3 }\)
\(\displaystyle{ t' - 3 = \frac{ t^{2} }{t-2}-3 }\)
\(\displaystyle{ \frac{dt}{ \dd x }= \frac{t}{t-2} }\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t-2}{t} dt = \int_{}^{} dx }\)
\(\displaystyle{ t - 2\ln|t|= x+c / e^{(..)} }\)
\(\displaystyle{ t =\pm \sqrt{ e^{t}- e^{x}\cdot C } }\)
\(\displaystyle{ 3x + y = \pm \sqrt{ e^{t}- e^{x}\cdot C } }\)
\(\displaystyle{ y = \pm \sqrt{ e^{t}- e^{x}\cdot C } -3x}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ \frac{dy}{ \dd x } + 3 = \frac{ (3x+y)^{2} }{y +3x-2} }\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{ \dd x } = \frac{ (3x+y)^{2} }{y +3x-2}-3}\)
\(\displaystyle{ t = 3x +y \rightarrow y = t-3x \rightarrow y' = t' - 3 }\)
\(\displaystyle{ y' = \frac{ t^{2} }{t-2}-3 }\)
\(\displaystyle{ t' - 3 = \frac{ t^{2} }{t-2}-3 }\)
\(\displaystyle{ \red{ \frac{dt}{ \dd x }= \frac{t}{t-2} } }\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t-2}{t} dt = \int_{}^{} dx }\)
\(\displaystyle{ t - 2\ln|t|= x+c / e^{(..)} }\)
\(\displaystyle{ t =\pm \sqrt{ e^{t}- e^{x}\cdot C } }\)
\(\displaystyle{ 3x + y = t = \pm \sqrt{ e^{t}- e^{x}\cdot C } }\)
\(\displaystyle{ y = \pm \sqrt{ e^{t}- e^{x}\cdot C } -3x}\)

A to czerwone skąd?

No i na końcu to `t` musi zniknąć

[Milanner]

To co Pan zaznaczył na czerwono to bład przy pisaniu, oczywiscie powinno byc \(\displaystyle{ t^2}\) zamiast t . Co do końcowego wyniku to
\(\displaystyle{ y = \pm \sqrt{ e^{3x + y}- e^{x}\cdot C } - 3x}\), tak jest dobrze ?

[a4karo]

No to całkę też trzeba stosownie zmienić

[Milanner]

No tak. Rozwiązałem całkę wychodzi mi teraz coś takiego \(\displaystyle{ \frac{t^2+4t-12}{2}+4\ln|t-2|=x + C }\) i nie mam pojecia jak wyznaczyć z tego \(\displaystyle{ t}\)..

[Jan Kraszewski]

i nie mam pojecia jak wyznaczyć z tego \(\displaystyle{ t}\)..

A po co chcesz to robić?

JK

PS
Rachunków nie sprawdzałem.

[kerajs]

Ja rachunki sprawdziłem.

\(\displaystyle{ \frac{dy}{ \dd x } + 3 = \frac{ (3x+y)^{2} }{y +3x-2} }\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{ \dd x } = \frac{ (3x+y)^{2} }{y +3x-2}-3}\)
\(\displaystyle{ t = 3x +y \rightarrow y = t-3x \rightarrow y' = t' - 3 }\)
\(\displaystyle{ y' = \frac{ t^{2} }{t-2}-3 }\)
\(\displaystyle{ t' - 3 = \frac{ t^{2} }{t-2}-3 }\)

\(\displaystyle{ t'= \frac{t^2}{t-2}\\
\frac{t-2}{t^2} \dd t = \dd x \\
\ln \left| t \right| + \frac{2}{t}=x+C\\
\ln \left| y+3x \right| + \frac{2}{y+3x}=x+C}\)
Nie można w jawny sposób wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ y}\), więc wynikiem jest powyższa postać uwikłana.