Dobry. Robię zadanie już chwilę i nie wiem co źle robię. Nie jestem do końca pewien różniczkowania szeregów, ale w obu przypadkach mam zły wynik
Potrzebuję policzyć piątą pochodną w zerze funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin^2x}\)
Robię to w ten sposób \(\displaystyle{ \sin^2x+\cos^2x=1 \\
\sin^2x=1-\frac{1+\cos2x}2=\frac{1-\cos2x}{2} \\
\cos2x=\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^n4^n}{2n!}x^{2n}}\)
tutaj mam problem przy różniczkowaniu szeregu.
Zapisałem kilka stron próbując otrzymać wynik poprawny, jednak w żadnym przypadku mi nie wyszło. Próbowałem również całkować szereg.
Mógłby ktoś mi tylko w tym punkcie pomóc ? Dalej już wiem jak robić (tak mi się wydaje )
Czyli właściwie tak jak myślałem, jednak przykladowo licząc dla \(\displaystyle{ f^{(4)}(x)}\)
dalej mi nie wychodzi
Mam \(\displaystyle{ \sin^2(x)=\frac{1-\cos2x}{2} \\
\cos2x=\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^n4^n}{(2n)!}x^{2n}}\)
zatem \(\displaystyle{ f^{(4)}(0)=\frac{1-\frac{(-1)^2 \cdot 4^2}{4!}}{2} \cdot 4!}\)
Co robię nie tak ?
Kiedy miałem zadanie typu \(\displaystyle{ f(x)=x^2e^x}\) wszystko mi wychodzi ...
Skoro \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2} - \frac{\cos(2x)}{2}}\), to przy pierwszym różniczkowaniu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) zniknie, więc liczy się tylko drugi składnik.
)
