Wzór Maclaurina funkcji sin^2(x)
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 4 maja 2016, o 22:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 19 razy
Wzór Maclaurina funkcji sin^2(x)
Dobry. Robię zadanie już chwilę i nie wiem co źle robię. Nie jestem do końca pewien różniczkowania szeregów, ale w obu przypadkach mam zły wynik
Potrzebuję policzyć piątą pochodną w zerze funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=\sin^2x}\)
Robię to w ten sposób
\(\displaystyle{ \sin^2x+\cos^2x=1 \\
\sin^2x=1-\frac{1+\cos2x}2=\frac{1-\cos2x}{2} \\
\cos2x=\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^n4^n}{2n!}x^{2n}}\)
tutaj mam problem przy różniczkowaniu szeregu.
Zapisałem kilka stron próbując otrzymać wynik poprawny, jednak w żadnym przypadku mi nie wyszło. Próbowałem również całkować szereg.
Mógłby ktoś mi tylko w tym punkcie pomóc ? Dalej już wiem jak robić (tak mi się wydaje )
Potrzebuję policzyć piątą pochodną w zerze funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=\sin^2x}\)
Robię to w ten sposób
\(\displaystyle{ \sin^2x+\cos^2x=1 \\
\sin^2x=1-\frac{1+\cos2x}2=\frac{1-\cos2x}{2} \\
\cos2x=\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^n4^n}{2n!}x^{2n}}\)
tutaj mam problem przy różniczkowaniu szeregu.
Zapisałem kilka stron próbując otrzymać wynik poprawny, jednak w żadnym przypadku mi nie wyszło. Próbowałem również całkować szereg.
Mógłby ktoś mi tylko w tym punkcie pomóc ? Dalej już wiem jak robić (tak mi się wydaje )
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Wzór Maclaurina funkcji sin^2(x)
Rozważmy dowolny szereg potęgowy
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}\).
Różniczkując wyraz po wyrazie, otrzymujemy kolejno
\(\displaystyle{ f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot n x^{n-1} \\[1ex]
f''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} a_n \cdot n(n-1) x^{n-2} \\[1ex]
\vdots \\
f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{\infty} a_n \cdot n^{\underline{k}} x^{n-k}}\)
gdzie \(\displaystyle{ n^{\underline{k}}}\) oznacza. Podstawienie do ostatniej linijki \(\displaystyle{ x = 0}\) daje wzór:
\(\displaystyle{ f^{(k)}(0) = a_k \cdot k^{\underline{k}} = a_k \cdot k!}\)
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}\).
Różniczkując wyraz po wyrazie, otrzymujemy kolejno
\(\displaystyle{ f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot n x^{n-1} \\[1ex]
f''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} a_n \cdot n(n-1) x^{n-2} \\[1ex]
\vdots \\
f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{\infty} a_n \cdot n^{\underline{k}} x^{n-k}}\)
gdzie \(\displaystyle{ n^{\underline{k}}}\) oznacza
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Pot%C4%99gi_krocz%C4%85ce
\(\displaystyle{ f^{(k)}(0) = a_k \cdot k^{\underline{k}} = a_k \cdot k!}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 4 maja 2016, o 22:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 19 razy
Re: Wzór Maclaurina funkcji sin^2(x)
Czyli właściwie tak jak myślałem, jednak przykladowo licząc dla
\(\displaystyle{ f^{(4)}(x)}\)
dalej mi nie wychodzi
Mam
\(\displaystyle{ \sin^2(x)=\frac{1-\cos2x}{2} \\
\cos2x=\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^n4^n}{(2n)!}x^{2n}}\)
zatem
\(\displaystyle{ f^{(4)}(0)=\frac{1-\frac{(-1)^2 \cdot 4^2}{4!}}{2} \cdot 4!}\)
Co robię nie tak ?
Kiedy miałem zadanie typu
\(\displaystyle{ f(x)=x^2e^x}\) wszystko mi wychodzi ...
\(\displaystyle{ f^{(4)}(x)}\)
dalej mi nie wychodzi
Mam
\(\displaystyle{ \sin^2(x)=\frac{1-\cos2x}{2} \\
\cos2x=\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^n4^n}{(2n)!}x^{2n}}\)
zatem
\(\displaystyle{ f^{(4)}(0)=\frac{1-\frac{(-1)^2 \cdot 4^2}{4!}}{2} \cdot 4!}\)
Co robię nie tak ?
Kiedy miałem zadanie typu
\(\displaystyle{ f(x)=x^2e^x}\) wszystko mi wychodzi ...
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Wzór Maclaurina funkcji sin^2(x)
Raczej
\(\displaystyle{ f^{(4)}(0) = \frac{-(\cos 2x)^{(4)}(0)}{2} = \frac{- \frac{(-1)^2 \cdot 4^2}{4!} \cdot 4!}{2} = -8}\)
\(\displaystyle{ f^{(4)}(0) = \frac{-(\cos 2x)^{(4)}(0)}{2} = \frac{- \frac{(-1)^2 \cdot 4^2}{4!} \cdot 4!}{2} = -8}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Wzór Maclaurina funkcji sin^2(x)
Skoro \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2} - \frac{\cos(2x)}{2}}\), to przy pierwszym różniczkowaniu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) zniknie, więc liczy się tylko drugi składnik.
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 4 maja 2016, o 22:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 19 razy
Re: Wzór Maclaurina funkcji sin^2(x)
Okay chyba rozumiem jak to działa teraz Wcześniej nie miałem tego typu zadań ze dodawanymi/odejmowanymi stałymi przed szeregiem.
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 4 maja 2016, o 22:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 19 razy
Re: Wzór Maclaurina funkcji sin^2(x)
To prawda, w tym przypadku akurat nie jest konieczne używanie szeregu jednak chciałem się dowiedzieć jak to działa w takim przykładzie.