a4karo pisze: ↑27 gru 2019, o 20:49
Ciągłość nie oznacza różniczkowalności: pochodne cząstkowe musisz liczyć z definicji. Ale to łatwe
No tak, ale ciągłość to warunek konieczny na różniczkowalność, prawda ?
Może też mógłby mi to ktoś uściślić. Było coś, że funkcja musi mieć skończoną ilość punktów nieciągłości, żeby byłą różniczkowalna. No ale jak ma być różniczkowalna w punkcie w którym nie jest ciągła.
A co do zadania które podałem, to chyba wystarczy jak zbadam ciągłość funkcji - udowodnie, że jest ciągła. Następnie zbadam pochodne cząstkowe pierwszego rzędu poza 0 oraz w 0, następnie obliczę pochodne mieszane drugiego rzędu w 0. Zgadza się ?
Dodano po 4 godzinach 47 minutach 18 sekundach:
Troche porozkminiałem to zadanie. Wydaje mi się, że coś tu jest źle mimo wszystko xd
Doszedłem do wniosku, że funkcja musi być ciągła, żeby była różniczkowalna ( warunek konieczny, niewystarczający). W związku z tym f ma być co najmniej klasy
\(\displaystyle{ C^1}\)
Także badam ciągłość funkcji
\(\displaystyle{ \frac{|xy|x^2}{x^2+y^2} \le \frac{x^2}{2}}\)
Zatem funkcja jest ciągła. Badam różniczkowalność w punkcie
\(\displaystyle{ (0,0)}\).
\(\displaystyle{ \frac{df}{dx}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=0}\)
Tak samo wychodzi dla
\(\displaystyle{ y}\)
Badam poza 0 już z gotowego wzoru na iloraz pochodnych:
\(\displaystyle{ \frac{df}{dx}(x,y)=\frac{x^4y+3x^2y^3}{(x^2+y^2)^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{df}{dy}(x,y)=\frac{x^5-x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}}\)
Badam ciągłość pochodnych pierwszego rzędu
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^4y+3x^2y^3}{(x^2+y^2)^2}=...}\)
Szacuję to:
\(\displaystyle{ 0 \le \left|\frac{x^4y+3x^2y^3}{(x^2+y^2)^2}\right| \le \frac{x^4|y|}{x^2+y^2}+\frac{3x^2y^2|y|}{x^2+y^2} \le \frac{|x^3|}{2}+\frac{3|x|y^2}{2}}\) i to dązy do zera, zatem powyższa granica również dąży do 0
Następna granica:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^5-x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}=...}\)
Również szacuję:
\(\displaystyle{ 0 \le \left|\frac{x^5-x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}\right| \le \frac{|x^5|}{x^2+y^2}+\frac{|x|x^2y^2}{x^2+y^2} \le \frac{x^4}{2}+\frac{x^2y^2}{2}}\)
W związku z czym ta granica również dąży do 0.
Pochodna funkcji jest funkcją ciągłą, zatem liczę pochodne mieszane drugiego rzędu w (0,0):
\(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dxy}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f_y(0+h,0)-f_y(0,0)}{h}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dyx}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f_x(0,0+h)-f_x(0,0)}{h}=0}\)
Nienawidzę nierówności także nie zdziwię się jeśli jest tam milion błędów i to w ogóle nie ma sensu.
Do szacowania korzystałem z
\(\displaystyle{ (x-y)^2 \ge 0 \\
\frac{x^2+y^2}{2} \ge |xy|}\)
