Cześć, mam następujące zadanie:
Zbadać istnienie pochodnych kierunkowych w punkcie: \(\displaystyle{ \left( 0,0\right) }\) dla funkcji:
\(\displaystyle{ f\left( x,y\right) = \begin{cases} 2xy, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y >x^2\\ 2x+3y, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y \le x^2 \end{cases} }\)
Liczę z definicji: \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial \left( x,y\right) } \left( 0,0\right)= \lim_{t \to 0 } \frac{f\left( \left( 0,0\right)+t\left( x,y\right) \right) - f\left( 0,0\right) }{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f\left( tx,ty\right) }{t} }\), bo \(\displaystyle{ f\left( 0,0\right) = 0 }\). Oczywiście \(\displaystyle{ \left( x,y\right) }\) to dowlony wektor
mój sposób:
liczę granice prawo- i lewostronne i wyznaczam wzór, wg którego liczę w zależności od: \(\displaystyle{ tx \ \ , \ \ ty}\)
Nie będę tego tutaj wyznaczał, bo i tak raczej nikomu nie będzie się chciało tego czytać. Moje pytania:
1. Czy mogę korzystać z zależności między granicami jednostronnymi oraz granicą, jeśli liczę granicę w działaniu z funkcją dwóch zmiennych? (myślę, że tak, bo granicę liczę w 'przeiwdziedzinie', ale wolę zapytać).
Krótko mówiąc: czy zachodzi: \(\displaystyle{ \left( \lim_{ t\to 0^+} \frac{f\left( x,y\right) }{t} = \lim_{ t\to 0^-} \frac{f\left( x,y\right) }{t} = g\right) \Leftrightarrow \lim_{ t\to 0} \frac{f\left( x,y\right) }{t} =g }\) dla \(\displaystyle{ g \in \RR \cup \left\{ - \infty , \infty \right\} }\)
2. Czy jest jakiś szybszy sposób na coś takiego?
Dodam, że zależy mi głównie na tym pierwszym pytaniu.