Pochodne wyższych rzędów

[TorrhenMathMeth]

Dane są funkcje \(\displaystyle{ f,g \in C^{4}(\mathbb{R}^{2}) }\) spełniające:

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y)-\tg{x}\sin{y}}{x^2+y^2} =2 \\
\lim_{ (x,y)\to (0,0)} \frac{g(x,y)-\tg{x}\sin{y}}{(x^2+y^2)^{2}} =3 }\)

Wyznacz następujące pochodne w \(\displaystyle{ p=(0,0) }\):
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f}{ \partial x^{2}}, \ \frac{ \partial ^{2}f}{ \partial x \partial y}, \ \frac{ \partial ^{4}g}{ \partial x^{2} \partial y^{2}}, \ \frac{ \partial ^{3}g}{ \partial x^{2} \partial y} }\)

Jak się za to zabrać?

[Premislav]

Ze wzoru Taylora z resztą w postaci Peana mamy
\(\displaystyle{ \tg x=x+\frac{x^{3}}{3}+o\left(x^{3}\right), \ \sin y=y-\frac{y^{3}}{6}+o\left(y^{3}\right)}\).
Dlatego (szczegóły Ci zostawiam) z tego, że
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{f(x,y)-\tg x \sin y}{x^{2}+y^{2}}=2}\) wynika, że
\(\displaystyle{ f(x,y)=h(x,y)+xy}\), gdzie również \(\displaystyle{ h(x,y)}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^{4}(\RR^{2})}\) oraz
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{h(x,y)}{x^{2}+y^{2}}=2}\)
i z powyższego widzimy, że \(\displaystyle{ \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}h}{\partial x^{2}}, \ \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}h}{\partial y^{2}}}\).

Teraz dla odmiany zastosujmy wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych:
\(\displaystyle{ h(x,y)=h(0,0)+x\frac{\partial h}{\partial x}((0,0))+y\frac{\partial h}{\partial y}((0,0))+\frac{1}{2}x^{2}\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}((0,0))+\frac{1}{2}y^{2}\frac{\partial^{2}h}{\partial y^{2}}((0,0))+xy \frac{\partial^{2}h}{\partial x \partial y}((0,0))+R_{3}(x,y)}\)
Ze znanej ogólnej postaci \(\displaystyle{ R_{3}(x,y)}\) jako jednorodnego wielomianu trzeciego stopnia dwóch zmiennych wynika, że
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{R_{3}(x,y)}{x^{2}+y^{2}}=0}\), a skoro tak, to z uwagi na fakt, ze istnieje granica właściwa
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{h(x,y)}{x^{2}+y^{2}}=2}\), dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{\partial h}{\partial x}((0,0))=0, \ \frac{\partial h}{\partial y}((0,0))=0}\),

Stąd mamy, że
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\frac{1}{2}x^{2}\frac{\partial^{2}h}{\partial x^{2}}((0,0))+\frac{1}{2}y^{2}\frac{\partial^{2}h}{\partial x^{2}}((0,0))}{x^{2}+y^{2}}=2}\)
a ponieważ z istnienia granicy funkcji dwóch zmiennych wynika istnienie i równość granic iterowanych, więc (na zmianę wstawiamy \(\displaystyle{ y=0,\ x=0}\):
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}x^{2}\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}((0,0))}{x^{2}}=2, \\\lim_{y\to 0}\frac{\frac{1}{2}y^{2}\frac{\partial^{2} h}{\partial y^{2}}((0,0))}{y^{2}}=2}\)
a z tego natychmiast otrzymujemy, że rzeczone pochodne drugiego rzędu w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) są równe \(\displaystyle{ 4}\). Z drugim zadaniem pewnie podobnie, choć nie wykluczam istnienia ładniejszego rozwiązania.

[TorrhenMathMeth]

Trochę nie rozumiem, z istnienia granicy właściwej wnioskujemy że pochodne cząstkowe 1 stopnia się zerują, a potem liczymy coś dla pochodnych 2 stopnia? Przecież one także będą zerowe.

[Premislav]

Nieprawdą jest to, co piszesz, na przykład pierwsza pochodna funkcji \(\displaystyle{ \kappa(x)=x^{2}e^{x}}\) w zerze jest równa zero, a druga pochodna już nie. Być może mój niejasny zapis nieco zaciemnił obraz, ale tutaj zeruje się pochodna cząstkowa w punkcie, a nie pochodna cząstkowa jako funkcja jest tożsamościowo równa zeru.

[Gosda]

Prostszy przykład: \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\)

[Premislav]

Tys prowda. Nigdy nie byłem bystry.

Swoją drogą zgubiłem w tym rozumowaniu jeszcze ten składnik \(\displaystyle{ xy\frac{\partial^{2}h}{\partial x\partial y}((0,0))}\) oraz \(\displaystyle{ h(0,0)}\), za co przepraszam. Spieszyłem się do pracy.
Szkielet rozumowania po zastosowaniu wzoru Taylora dla funkcji dwóch zmiennych powinien wyglądać na przykład tak:
1. Ponieważ \(\displaystyle{ R_{3}(x,y)}\) jest jednorodnym wielomianem dwóch zmiennych stopnia \(\displaystyle{ 3}\), więc
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{R_{3}(x,y)}{x^{2}+y^{2}}=0}\).
2. Zatem wiemy, że
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{h(0,0)+x\frac{\partial h}{\partial x}((0,0))+y\frac{\partial h}{\partial y}((0,0))+\frac{1}{2}x^{2}\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}((0,0))+\frac{1}{2}y^{2}\frac{\partial^{2}h}{\partial y^{2}}((0,0))+xy \frac{\partial^{2}h}{\partial x \partial y}((0,0))}{x^{2}+y^{2}}=2}\)
Ale skoro ta granica (właściwa) funkcji w punkcie istnieje, to (znane) istnieją i są jej równe granice iterowane, które wobec tego wynoszą:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\left(\lim_{y\to 0} \frac{h(0,0)+x\frac{\partial h}{\partial x}((0,0))+y\frac{\partial h}{\partial y}((0,0))+\frac{1}{2}x^{2}\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}((0,0))+\frac{1}{2}y^{2}\frac{\partial^{2}h}{\partial y^{2}}((0,0))+xy \frac{\partial^{2}h}{\partial x \partial y}((0,0))}{x^{2}+y^{2}}\right)\\=\lim_{x\to 0}\frac{h(0,0)+x\frac{\partial h}{\partial x}((0,0))+\frac{1}{2}x^{2}\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}((0,0))}{x^{2}}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{y\to 0}\left(\lim_{x\to 0} \frac{h(0,0)+x\frac{\partial h}{\partial x}((0,0))+y\frac{\partial h}{\partial y}((0,0))+\frac{1}{2}x^{2}\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}((0,0))+\frac{1}{2}y^{2}\frac{\partial^{2}h}{\partial y^{2}}((0,0))+xy \frac{\partial^{2}h}{\partial x \partial y}((0,0))}{x^{2}+y^{2}}\right)\\=\lim_{y\to 0}\frac{h(0,0)+y\frac{\partial h}{\partial y}((0,0))+\frac{1}{2}y^{2}\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}((0,0))}{y^{2}}}\)
3. Ciśniesz przez sprzeczność, że najpierw \(\displaystyle{ h(0,0)=0}\), a następnie że pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w zerze wynoszą zero (gdyby tak nie było, to funkcja byłaby nieograniczona w otoczeniu zera, więc nie mogłaby mieć granicy właściwej w zerze).
4. Jak już będziesz mieć wszystko, co z tego da się wycisnąć, to znaczy
\(\displaystyle{ h(0,0)=0, \ \frac{\partial h}{\partial x}((0,0))=0, \ \frac{\partial h}{\partial y}((0,0))=0,\ \frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}((0,0))=4, \ \frac{\partial^{2} h}{\partial y^{2}}((0,0))=4}\), to już jasnym będzie, ile (zero) wynosi
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2}h}{\partial x\partial y}((0,0))}\), wystarczy zauważyć (i uzasadnić), że nie istnieje
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}}\).

Dodano po 47 minutach 49 sekundach:
Chociaż w sumie brakuje tu trochę ścisłości, ponieważ na przykład w takiej granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sin(xy)}{xy}}\) też mamy istnienie granicy (oczywiście jedynka), co pociąga istnienie i równość granic iterowanych, a jednakże nie możemy tak sobie powstawiać zer. Oczywiście tutaj sytuacja jest inna, ale brakuje zgrabnego komentarza.

Drugie zadanie (tzn. tak traktuję część z funkcją \(\displaystyle{ g}\)) chyba jest trudniejsze, czy przynajmniej bardziej pracochłonne lub bardziej przemkoodporne. Tak jak pisałem, korzystając ze wzoru Taylora z resztą w postaci Peana możemy uzyskać, że
\(\displaystyle{
\lim_{ (x,y)\to (0,0)} \frac{g(x,y)-\tg{x}\sin{y}}{(x^2+y^2)^{2}} = \lim_{ (x,y)\to (0,0)} \frac{g(x,y)-\left(x+\frac{x^{3}}{3}\right)\left(y-\frac{y^{3}}{6}\right)}{(x^2+y^2)^{2}}\\= \lim_{ (x,y)\to (0,0)} \frac{g(x,y)-xy+\frac{1}{6}xy^{3}-\frac{1}{3}x^{3}y}{(x^2+y^2)^{2}}}\)
(pozostały kawałek można wyrzucić, ponieważ na przykład \(\displaystyle{ |x^{3}y^{3}|\le \frac{1}{8}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}\))
i znowuż można posłużyć się wzorem Taylora dla funkcji dwóch zmiennych, ale to dosyć żmudne. Pewnie istnieje sposób z Księgi, ale ja takich nie wymyślam, niestety. No i pozostaje problem z przedostatnią pochodną cząstkową (tą czwartego rzędu).

Dodano po 29 minutach 12 sekundach:
Dobra, może w tym ostatnim pomoże nam taka heureza, że powinniśmy udowodnić, że wartość tych pochodnych cząstkowych nie zależy od tego, jaką funkcję spełniającą warunki zadania weźmiemy, a bardzo prostą funkcją, która jest klasy \(\displaystyle{ C^{4}(\RR^{2})}\) i czyni zadość warunkowi
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0)} \frac{g(x,y)-xy+\frac{1}{6}xy^{3}-\frac{1}{3}x^{3}y}{(x^2+y^2)^{2}}=3}\),
jest \(\displaystyle{ g_{1}(x,y)=3\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+xy-\frac{1}{6}xy^{3}+\frac{1}{3}x^{3}y}\). Testując tę funkcję, natychmiast otrzymujemy, jakie mają być te pożądane przez nas wartości \(\displaystyle{ \frac{\partial^{3}g}{\partial x^{2}\partial y}, \ \frac{\partial^{4}g}{\partial^{2}x\partial^{2}y}}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\).
Teraz jeśli jakaś inna \(\displaystyle{ g(x,y)}\) spełnia warunki, to natychmiast dostajemy
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{g_{1}(x,y)-g(x,y)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=0}\),
innymi słowy
\(\displaystyle{ g(x,y)=g_{1}(x,y)+o\left(\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\right)}\). Ale chyba jestem za słaby na to zadanie…

[TorrhenMathMeth]

Okej, z tym co napisałem to rzeczywiście zrozumiałem, że piszesz, że pochodna jest tożsamościowo równa zero i to mi się nie zgadzało. A co do rozwiązania to jest dość skomplikowane i chyba powinno dać się to łatwiej zrobić, ale i tak dzięki za chęci! Pomyślę jeszcze nad nim.