Sprytne rozwinięcie arctg x w szereg Mclaurena

[shreder221]

Dzień dobry.

Mam za zadanie rozwinięcie funkcji \(\displaystyle{ \arctg (x)}\) w szereg Mclaurena do 6 wyrazu. Można oczywiście normalnie z dużym wysiłkiem liczyć te pochodne do 6 ale w polecaniu jest informacja że można to jakoś sprytnie rozwiązać.
Moglibyście powiedzieć /podpowiedzieć jak to zrobić?

[Tmkk]

wskazówka: \(\displaystyle{ (\arctan{(x)})' = \frac{1}{1+x^2} = \sum_{k=0} (-x^2)^k}\)

[shreder221]

1. A nie ograniczamy tym samym dziedziny do przedziału \(\displaystyle{ (1;1) }\) ? Niby rozwijamy dookoła 0 ale pewnie po kilku wyrazach wyjdziemy po za ten przedział.
2. Czyli następnie różniczkujemy wyraz po wyrazie. Obliczamy sumę powstałego szeregu. Tak 5 razy. I na koniec wrzucamy kolejne sumy szeregów w odpowiednie miejsca wzoru na rozwinięcie?
3. Ewentualne scałkowanie wyraz po wyrazie szeregu \(\displaystyle{ \sum_{k=0} (-x^2)^k}\) wystarczy ? Bo uzyskamy jakiś szereg i pytanie brzmi czy ten szereg będzie można nazwać rozwinięciem Mclaurena. Nie używamy formuły. Nie wiadomo gdzie rozwijamy itp. Ale z drugiej strony uzyskaliśmy przybliżenie funkcji za pomocą szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n}^{} ax^{n}}\) czyli osiągnęliśmy główny cel rozwijania w szereg.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2} = 1 -x^2 +x^4 - x^{6}+ ...+ (-1)^{n} x^{2n}+... \ \ (-1< x <1) \ \ (1) }\)

Całkując szereg \(\displaystyle{ (1) }\) wyraz po wyrazie w granicach od \(\displaystyle{ 0 }\) do \(\displaystyle{ x , \ \ (|x|<1) }\)

otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \arctg(x) = x - \frac{1}{3}x^3 +\frac{1}{5}x^5 -\frac{1}{7}x^7 +...+(-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{2n-1} + .... \ \ ( -1< x < 1). }\)

To jest rozwinięcie funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \arctg(x) }\) w szereg Taylora-Maclaurina.

[shreder221]

1. A nie ograniczamy tym samym dziedziny do przedziału \(\displaystyle{ (1;1) }\) ? Niby rozwijamy dookoła 0 ale pewnie po kilku wyrazach wyjdziemy po za ten przedział.
2. Czyli następnie różniczkujemy wyraz po wyrazie. Obliczamy sumę powstałego szeregu. Tak 5 razy. I na koniec wrzucamy kolejne sumy szeregów w odpowiednie miejsca wzoru na rozwinięcie?
3. Ewentualne scałkowanie wyraz po wyrazie szeregu \(\displaystyle{ \sum_{k=0} (-x^2)^k}\) wystarczy ? Bo uzyskamy jakiś szereg i pytanie brzmi czy ten szereg będzie można nazwać rozwinięciem Mclaurena. Nie używamy formuły. Nie wiadomo gdzie rozwijamy itp. Ale z drugiej strony uzyskaliśmy przybliżenie funkcji za pomocą szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n}^{} ax^{n}}\) czyli osiągnęliśmy główny cel rozwijania w szereg.

dziękuję za połowiczną odpowiedź na 3
Jeśli mógłbyś jeszcze odpowiedzieć na 2 pozostałe to byłbym wdzięczny :p