Wartość pochodnej w zerze funkcji parzystej

[41421356]

Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ f(x)}\) jest funkcją parzystą oraz różniczkowalną w zerze to wówczas \(\displaystyle{ f'(0)=0}\).

[a4karo]

No i co z tym zrobiłeś?

[41421356]

Liczyłem pochodne jednostronne w zerze, ale z parzystości funkcji istnienie jednej implikuje drugą. Poza tym w treści i tak jest podana ta różniczkowalność w zerze. Nie mam za bardzo pomysłu jak to zrobić dalej.

[Premislav]

Proponuję rozpisać tę pochodną z definicji:
\(\displaystyle{ f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}}\) i zauważyć, że to jest równe
\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\frac{f(-h)}{-h}}\), dalej skorzystaj z parzystości i koniec.

[MrCommando]

A może skorzystajmy z tego, że pochodna funkcji parzystej jest funkcją nieparzystą. Dość prosto w sumie można to pokazać.

Wtedy \(\displaystyle{ f'(x)=-f'(-x)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\), w których \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna, a w szczególności \(\displaystyle{ f'(0)=-f'(0)}\), czyli \(\displaystyle{ f'(0)=0}\).

[Jan Kraszewski]

A może skorzystajmy z tego, że pochodna funkcji parzystej jest funkcją nieparzystą.

Z tego nie możesz skorzystać, bo nie wiesz nic o różniczkowalności funkcji \(\displaystyle{ f}\) poza zerem.

JK

[MrCommando]

A może skorzystajmy z tego, że pochodna funkcji parzystej jest funkcją nieparzystą.

Z tego nie możesz skorzystać, bo nie wiesz nic o różniczkowalności funkcji \(\displaystyle{ f}\) poza zerem.

JK

To prawda, niedokładnie przeczytałem.

[a4karo]

Ale to nie przeszkadza: Możesz udowodnić (bo powołąć się nie wystarczy) taki fakt: jeżeli funkcja parzysta jest różniczkowalna w punkcie \(x\), to jest różniczkowalna w punkcie \(-x\) i \(f'(-x)=-f'(x)\), skąd w szczególności wynika teza. De facto dowód jest taki sam jak dowód tego, że pochodna w zerze znika.

Dodano po 6 minutach 55 sekundach:
A najprościej chyba tak:
Skoro \(\displaystyle{ f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}}\), to tam gdzie funkcja jet różniczkowalna mamy \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{f'(x)-f'(-x)}{2}}\) i już

[Dasio11]

jeżeli funkcja parzysta jest różniczkowalna w punkcie \(x\), to jest różniczkowalna w punkcie \(-x\) i \(f'(-x)=-f'(x)\), skąd w szczególności wynika teza.
[...]
A najprościej chyba tak:
Skoro \(\displaystyle{ f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}}\), to tam gdzie funkcja jet różniczkowalna mamy \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{f'(x)-f'(-x)}{2}}\)

To dowodzi słabszej tezy, że jeśli funkcja parzysta jest różniczkowalna w punktach \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ -a}\), to \(\displaystyle{ f'(-a) = -f'(a)}\).

Pełną tezę można otrzymać tak: funkcja \(\displaystyle{ g(x) = -x}\) jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ -a}\) a funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ g(-a)}\), więc \(\displaystyle{ f \circ g = f}\) jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ -a}\) oraz

\(\displaystyle{ f'(-a) = (f \circ g)'(-a) = f'(g(-a)) \cdot g'(-a) = f'(a) \cdot (-1) = -f'(a)}\).

[41421356]

Dziękuję Panowie za odpowiedzi. Jest mi bardzo miło widzieć, że mój post zainteresował moich największych autorytetów na forum!