Postać macierzy Jacobiego funkcji uwikłanej w ogólności

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Indifferentiable
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 30 lip 2019, o 01:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Postać macierzy Jacobiego funkcji uwikłanej w ogólności

Post autor: Indifferentiable » 22 sie 2019, o 15:40

Niech \(\displaystyle{ y(x)}\) będzie funkcją uwikłaną równaniem \(\displaystyle{ f(x,y)=0}\), gdzie \(\displaystyle{ f:\RR^n \times \RR^m \rightarrow \RR}\). Podać postać macierzy Jacobiego funkcji \(\displaystyle{ y(x)}\).


To pytanie na egzamin ustny, ale w skrypcie z wykładu nie ma na nie odpowiedzi. Jest tylko wzór na pochodną cząstkową \(\displaystyle{ y}\) zapisany w taki sposób: \(\displaystyle{ \frac{ \partial y}{ \partial x} = -\left[\begin{array}{c}\frac{ \partial f}{ \partial y}\end{array}\right]^{-1}\frac{ \partial f}{ \partial x}}\)



Moim zdaniem funkcja \(\displaystyle{ y(x)}\) jest określona tak: \(\displaystyle{ y: \RR^n \rightarrow \RR^m}\), więc macierz Jacobiego będzie postaci \(\displaystyle{ J_y = \left[\begin{array}{ccc}\frac{ \partial y_1}{ \partial x_1}&\ldots&\frac{ \partial y_1}{ \partial x_n}\\\ldots&\ldots&\ldots\\\frac{ \partial y_m}{ \partial x_1}&\ldots&\frac{ \partial y_m}{ \partial x_n}\end{array}\right]}\).
Więc może \(\displaystyle{ J_y = \left[\begin{array}{ccc}-\frac{\frac{ \partial f}{ \partial x_1}}{\frac{ \partial f}{ \partial y_1}}&\ldots&-\frac{\frac{ \partial f}{ \partial x_n}}{\frac{ \partial f}{ \partial y_1}}\\\ldots&\ldots&\ldots\\-\frac{\frac{ \partial f}{ \partial x_1}}{\frac{ \partial f}{ \partial y_m}}&\ldots&-\frac{\frac{ \partial f}{ \partial x_n}}{\frac{ \partial f}{ \partial y_m}}\end{array}\right]}\) ?

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 539
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 104 razy

Re: Postać macierzy Jacobiego funkcji uwikłanej w ogólności

Post autor: MrCommando » 22 sie 2019, o 23:55

Zgodnie z definicją funkcji uwikłanej i twierdzeniem o niej, to powinno być \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^m}\).

Rozważamy funkcję uwikłaną równaniem \(\displaystyle{ f(x,y)=0}\), gdzie \(\displaystyle{ x=(x_1,\dots,x_n)}\) oraz \(\displaystyle{ y=(y_1,\dots,y_m)}\). Dla dowolnych \(\displaystyle{ a\in \mathbb{R}^n}\), \(\displaystyle{ b\in\mathbb{R}^m}\) przyjmujemy następujące oznaczenia:

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\left[\begin{array}{cccc} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a,b) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a,b) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a,b) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a,b) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(a,b) & \ldots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(a,b) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a,b) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(a,b) & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(a,b)\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=\left[\begin{array}{cccc} \frac{\partial f_1}{\partial y_1}(a,b) & \frac{\partial f_1}{\partial y_2}(a,b) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial y_m}(a,b) \\ \frac{\partial f_2}{\partial y_1}(a,b) & \frac{\partial f_2}{\partial y_2}(a,b) & \ldots & \frac{\partial f_2}{\partial y_m}(a,b) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial y_1}(a,b) & \frac{\partial f_m}{\partial y_2}(a,b) & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m}(a,b)\end{array}\right]}\)

Nie są to pochodne cząstkowe, tylko po prostu jedno z przyjmowanych oznaczeń na macierze Jacobiego. Macierz Jacobiego \(\displaystyle{ \frac{\partial y}{\partial x}(a)}\) funkcji uwikłanej naszym równaniem jest postaci \(\displaystyle{ \frac{\partial y}{\partial x}(a)=-\left[\frac{\partial f}{\partial y}(a,y(a))\right]^{-1}\cdot \frac{\partial f}{\partial x}(a,y(a))}\), o ile tylko oczywiście spełnione są założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej.

ODPOWIEDZ