Podać postać różniczki dowolnego rzędu operatora liniowego z podzbioru \(\displaystyle{ \RR}\) w dowolną przestrzeń unormowaną \(\displaystyle{ Y}\).
Dla dowolnego operatora \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR^d}\) postać \(\displaystyle{ k}\)-tej różniczki w punkcie \(\displaystyle{ x}\) byłaby chyba taka:
\(\displaystyle{ d^kf_x(u) = \left[\begin{array}{c}f^{(k)}_1(x)\\f^{(k)}_2(x)\\ \ldots \\f^{(k)}_d(x)\end{array}\right] \cdot \prod_{i=1}^{k} u_i}\)
To wszystko co byłem w stanie wymyślić.
Postać różniczki dowolnego rzędu operatora liniowego
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 30 lip 2019, o 01:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Postać różniczki dowolnego rzędu operatora liniowego
Ostatnio zmieniony 21 sie 2019, o 20:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Postać różniczki dowolnego rzędu operatora liniowego
Pierwszy raz widzę określenie operatora liniowego na podzbiorze, a nie podprzestrzeni liniowej. Dziwnie to wygląda. Wydaje mi się, że coś może źle przepisałeś.
W każdym razie żeby powiedzieć coś więcej o postaci różniczki odwzorowania liniowego, sensownie jest założyć jeszcze jego ciągłość. Wtedy różniczką (pierwszego rzędu) takiego odwzorowania liniowego jest ono samo. Ale skoro różniczka pierwszego rzędu też jest odwzorowaniem liniowym ciągłym, to z drugą będzie tak samo. Zatem różniczką dowolnego rzędu odwzorowania liniowego i ciągłego jest ono samo.
W każdym razie żeby powiedzieć coś więcej o postaci różniczki odwzorowania liniowego, sensownie jest założyć jeszcze jego ciągłość. Wtedy różniczką (pierwszego rzędu) takiego odwzorowania liniowego jest ono samo. Ale skoro różniczka pierwszego rzędu też jest odwzorowaniem liniowym ciągłym, to z drugą będzie tak samo. Zatem różniczką dowolnego rzędu odwzorowania liniowego i ciągłego jest ono samo.
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Postać różniczki dowolnego rzędu operatora liniowego
Też mi się wydaje, że operator liniowy powinien być określony na podprzestrzeni. Inaczej kłóciło by się to z definicją liniowości.
Druga sprawa. Ciągłości zakładać nie trzeba, bowiem funkcja liniowa określona na przestrzeni skończenie wymiarowej jest zawsze ciągła.
I po trzecie (chyba najważniejsze) różniczka pierwszego rzędu jest taka sama w każdym punkcie (równa funkcji), co sprawia, że funkcja, która przyporządkowuje każdemu punktowi różniczkę w tym punkcie, jest stała, a co za tym idzie różniczka drugiego i każdego większego rzędu jest zerowa w każdym punkcie.
Druga sprawa. Ciągłości zakładać nie trzeba, bowiem funkcja liniowa określona na przestrzeni skończenie wymiarowej jest zawsze ciągła.
I po trzecie (chyba najważniejsze) różniczka pierwszego rzędu jest taka sama w każdym punkcie (równa funkcji), co sprawia, że funkcja, która przyporządkowuje każdemu punktowi różniczkę w tym punkcie, jest stała, a co za tym idzie różniczka drugiego i każdego większego rzędu jest zerowa w każdym punkcie.
To jest w porządku, ale w zadaniu masz dowolną przestrzeń unormowaną, więc zapewne chodzi o to co napisałem wcześniej.Indifferentiable pisze: Dla dowolnego operatora \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR^d}\) postać \(\displaystyle{ k}\)-tej różniczki w punkcie \(\displaystyle{ x}\) byłaby chyba taka:
\(\displaystyle{ d^kf_x(u) = \left[\begin{array}{c}f^{(k)}_1(x)\\f^{(k)}_2(x)\\ \ldots \\f^{(k)}_d(x)\end{array}\right] \cdot \prod_{i=1}^{k} u_i}\)
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Postać różniczki dowolnego rzędu operatora liniowego
No tak, zdecydowanie racja. Coś głupotę napisałem.matmatmm pisze:
I po trzecie (chyba najważniejsze) różniczka pierwszego rzędu jest taka sama w każdym punkcie (równa funkcji), co sprawia, że funkcja, która przyporządkowuje każdemu punktowi różniczkę w tym punkcie, jest stała, a co za tym idzie różniczka drugiego i każdego większego rzędu jest zerowa w każdym punkcie.