Postać różniczki dowolnego rzędu operatora liniowego

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Indifferentiable
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 30 lip 2019, o 01:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Postać różniczki dowolnego rzędu operatora liniowego

Post autor: Indifferentiable » 21 sie 2019, o 19:39

Podać postać różniczki dowolnego rzędu operatora liniowego z podzbioru \(\displaystyle{ \RR}\) w dowolną przestrzeń unormowaną \(\displaystyle{ Y}\).


Dla dowolnego operatora \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR^d}\) postać \(\displaystyle{ k}\)-tej różniczki w punkcie \(\displaystyle{ x}\) byłaby chyba taka:

\(\displaystyle{ d^kf_x(u) = \left[\begin{array}{c}f^{(k)}_1(x)\\f^{(k)}_2(x)\\ \ldots \\f^{(k)}_d(x)\end{array}\right] \cdot \prod_{i=1}^{k} u_i}\)

To wszystko co byłem w stanie wymyślić.
Ostatnio zmieniony 21 sie 2019, o 20:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 534
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 104 razy

Postać różniczki dowolnego rzędu operatora liniowego

Post autor: MrCommando » 21 sie 2019, o 20:32

Pierwszy raz widzę określenie operatora liniowego na podzbiorze, a nie podprzestrzeni liniowej. Dziwnie to wygląda. Wydaje mi się, że coś może źle przepisałeś.

W każdym razie żeby powiedzieć coś więcej o postaci różniczki odwzorowania liniowego, sensownie jest założyć jeszcze jego ciągłość. Wtedy różniczką (pierwszego rzędu) takiego odwzorowania liniowego jest ono samo. Ale skoro różniczka pierwszego rzędu też jest odwzorowaniem liniowym ciągłym, to z drugą będzie tak samo. Zatem różniczką dowolnego rzędu odwzorowania liniowego i ciągłego jest ono samo.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1802
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 251 razy

Postać różniczki dowolnego rzędu operatora liniowego

Post autor: matmatmm » 22 sie 2019, o 02:02

Też mi się wydaje, że operator liniowy powinien być określony na podprzestrzeni. Inaczej kłóciło by się to z definicją liniowości.

Druga sprawa. Ciągłości zakładać nie trzeba, bowiem funkcja liniowa określona na przestrzeni skończenie wymiarowej jest zawsze ciągła.

I po trzecie (chyba najważniejsze) różniczka pierwszego rzędu jest taka sama w każdym punkcie (równa funkcji), co sprawia, że funkcja, która przyporządkowuje każdemu punktowi różniczkę w tym punkcie, jest stała, a co za tym idzie różniczka drugiego i każdego większego rzędu jest zerowa w każdym punkcie.
Indifferentiable pisze: Dla dowolnego operatora \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR^d}\) postać \(\displaystyle{ k}\)-tej różniczki w punkcie \(\displaystyle{ x}\) byłaby chyba taka:

\(\displaystyle{ d^kf_x(u) = \left[\begin{array}{c}f^{(k)}_1(x)\\f^{(k)}_2(x)\\ \ldots \\f^{(k)}_d(x)\end{array}\right] \cdot \prod_{i=1}^{k} u_i}\)
To jest w porządku, ale w zadaniu masz dowolną przestrzeń unormowaną, więc zapewne chodzi o to co napisałem wcześniej.

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 534
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 104 razy

Postać różniczki dowolnego rzędu operatora liniowego

Post autor: MrCommando » 22 sie 2019, o 02:39

matmatmm pisze:
I po trzecie (chyba najważniejsze) różniczka pierwszego rzędu jest taka sama w każdym punkcie (równa funkcji), co sprawia, że funkcja, która przyporządkowuje każdemu punktowi różniczkę w tym punkcie, jest stała, a co za tym idzie różniczka drugiego i każdego większego rzędu jest zerowa w każdym punkcie.
No tak, zdecydowanie racja. Coś głupotę napisałem.

ODPOWIEDZ