Matematyka.pl

Twierdzenie o istnieniu różniczki odwzorowania z \(\displaystyle{ \RR^d}\) w \(\displaystyle{ \RR}\):
Niech \(\displaystyle{ f: U \to \RR}\), gdzie \(\displaystyle{ U \subset \RR^d}\).
Wtedy jeśli w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x \in U}\) istnieją wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu \(\displaystyle{ f}\) i są w \(\displaystyle{ x}\) ciągłe, to istnieje różniczka \(\displaystyle{ df_x}\).


Jak brzmi wersja tego twierdzenia dla funkcji \(\displaystyle{ g: \RR^d \to \RR^p}\)?
Czy spełnienie założeń powyższego twierdzenia dla każdej z funkcji składowych \(\displaystyle{ g}\) wystarczy?

Tak.
Odwzorowanie \(\displaystyle{ g: \RR^d \to \RR^p}\) jest różniczką \(\displaystyle{ dg_{x}}\) w punkcie \(\displaystyle{ x,}\) wtedy i tylko wtedy, gdy jego współrzędne \(\displaystyle{ g_{1}, g_{2}, ..., g_{p}}\) są różniczkowalne w tym punkcie.

Można powiedzieć, że ten warunek w przypadku odwzorowania skalarnego \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^d \to \mathbb{R}}\) nie zmienia się w przypadku funkcji wektorowej \(\displaystyle{ f: U \subset \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^p}\). Rzeczywiście, jeśli pochodne cząstkowe, traktowane jako funkcje \(\displaystyle{ U \to \mathbb{R}^p}\) są ciągłe w \(\displaystyle{ x \in U}\), to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ x}\). Wtedy także jest \(\displaystyle{ df_x h=\sum_{i=d} ^d h_i \frac{\partial f}{\partial x_i} \left( x \right).}\)

janusz47 pisze:Tak.
Odwzorowanie \(\displaystyle{ g: \RR^d \to \RR^p}\) jest różniczką \(\displaystyle{ dg_{x}}\) w punkcie \(\displaystyle{ x,}\) wtedy i tylko wtedy, gdy jego współrzędne \(\displaystyle{ g_{1}, g_{2}, ..., g_{p}}\) są różniczkowalne w tym punkcie.

Coś tu nie gra. Zakładasz, że \(\displaystyle{ g}\) jest różniczką, czyli że funkcja jest różniczkowalna. Jeśli \(\displaystyle{ g}\) jest różniczką, to \(\displaystyle{ g_1,\ldots , g_p}\) są współrzędnymi tej różniczki, czyli funkcji liniowej. Te współrzędne są zawsze różniczkowalne.

Nic nie zakładam, muszą być różniczkowalne współrzędne - składowe odwzorowania \(\displaystyle{ g_{i}, \ \ i=1,2,...,p.}\)

Tam jest napisane, że \(\displaystyle{ g}\) jest różniczką, tak?

\(\displaystyle{ dg_{x}}\) jest różniczką odwzorowania \(\displaystyle{ G:\RR^{d} \to \RR^{p}}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\), jeśli wszystkie współrzędne tego odwzorowania \(\displaystyle{ g_{i}, \ \ i=1,2,...,p}\) są różniczkowalne (tzn. istnieją wszystkie ich pierwsze pochodne cząstkowe i są funkcjami ciągłymi).