Znaleźć punkt(y) należące do płaszczyzny najbliższe (0,0,0)

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Indifferentiable
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 30 lip 2019, o 01:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Znaleźć punkt(y) należące do płaszczyzny najbliższe (0,0,0)

Post autor: Indifferentiable » 6 sie 2019, o 00:58

Na powierzchni o równaniu \(\displaystyle{ z = xy + 5}\) wyznaczyć punkt(y), które znajdują się najbliżej punktu \(\displaystyle{ (0,0,0)}\).

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Próbowałem zrobić to zadanie rozszerzając okrąg ze środkiem w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) i obliczając najmniejszy promień, dla którego okrąg styka się z płaszczyzną, ale obliczenia są zbyt trudne.

Wpadłem jeszcze na pomysł, żeby próbować znaleźć najkrótszy wektor z początkiem w \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) i końcem w \(\displaystyle{ (x,y,xy+5)}\), prostopadły do płaszczyzny stycznej do \(\displaystyle{ z}\) w \(\displaystyle{ (x,y,xy+5)}\), ale nie potrafię znaleźć wektora normalnego lub równoległego do płaszczyzny stycznej lub jej wzoru.

Czy jest sposób na rozwiązanie tego zadania bez interpretacji geometrycznej?
To zadanie jest na kartce z zadaniami z ekstremów warunkowych, ale nie umiem go zrobić.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14369
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4725 razy

Re: Znaleźć punkt(y) należące do płaszczyzny najbliższe (0,0

Post autor: Premislav » 6 sie 2019, o 01:18

Punkty należące do takiej powierzchni będą miały współrzędne
\(\displaystyle{ \left( x, y, xy+5\right)}\)
Odległość takiego punktu od \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) to oczywiście (jak to w metryce euklidesowej bywa)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2+(xy+5-0)^2}}\)
Ponieważ w nieujemnych funkcja \(\displaystyle{ t\mapsto t^2}\) jest rosnąca, więc możemy minimalizować
kwadrat tej wartości, czyli \(\displaystyle{ x^2+y^2+(xy+5)^2}\), a potem wyciągnąć pierwiastek kwadratowy.
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ x^2+y^2+(xy+5)^2=(x+y)^2+(xy+4)^2+9\ge 9}\)
i równość zajdzie, gdy jednocześnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=0 \\ xy+4=0 \end{cases}}\)
do drugiego równania z pierwszego podstawiamy
\(\displaystyle{ y:=-x}\) i mamy \(\displaystyle{ x^2=4}\), więc \(\displaystyle{ x=2\vee x=-2}\).
Ostatecznie minimum jest przyjmowane w punktach
\(\displaystyle{ (2, -2, 1)}\) oraz \(\displaystyle{ (-2, 2, 1)}\) i wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{9}=3}\).

ODPOWIEDZ