Matematyka.pl

Siema mam takie zadanie: dana jest funkcja klasy \(\displaystyle{ C^2,}\) która ma minimum lokalne w punkcie \(\displaystyle{ x=0,}\) a maksimum w \(\displaystyle{ x=1}\). Prawdą jest że:
1) dla pewnego \(\displaystyle{ c\in(0,1)}\) mamy \(\displaystyle{ f''(c)=0}\)
2) dla pewnego \(\displaystyle{ c\in(0,1)}\) mamy \(\displaystyle{ f'(c)=0.}\)

Wydaje mi się że 1) jest prawdą, proszę o potwierdzenie lub zaprzeczenie

1) jest prawdą na mocy twierdzenia Rolle'a zastosowanego do \(\displaystyle{ f'}\), która zeruje się w zerze i w jedynce, więc gdzieś pomiędzy jest miejsce zerowe \(\displaystyle{ f''}\).

2) można podać kontrprzykład, choćby \(\displaystyle{ f(x)=\sin\left( \pi x-\frac \pi 2\right)}\), która ma
lokalne minimum w \(\displaystyle{ x_0=0}\) i lokalne maksimum w \(\displaystyle{ x_1=1}\), a pomiędzy tymi punktami jej pochodna się nie zeruje.