Ekstrema lokalne - pochodna i druga pochodna

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
degel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 63 razy

Ekstrema lokalne - pochodna i druga pochodna

Post autor: degel123 » 25 lip 2019, o 11:31

Siema mam takie zadanie: dana jest funkcja klasy \(\displaystyle{ C^2,}\) która ma minimum lokalne w punkcie \(\displaystyle{ x=0,}\) a maksimum w \(\displaystyle{ x=1}\). Prawdą jest że:
1) dla pewnego \(\displaystyle{ c\in(0,1)}\) mamy \(\displaystyle{ f''(c)=0}\)
2) dla pewnego \(\displaystyle{ c\in(0,1)}\) mamy \(\displaystyle{ f'(c)=0.}\)

Wydaje mi się że 1) jest prawdą, proszę o potwierdzenie lub zaprzeczenie
Ostatnio zmieniony 25 lip 2019, o 12:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14380
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 4729 razy

Ekstrema lokalne - pochodna i druga pochodna

Post autor: Premislav » 25 lip 2019, o 11:45

1) jest prawdą na mocy twierdzenia Rolle'a zastosowanego do \(\displaystyle{ f'}\), która zeruje się w zerze i w jedynce, więc gdzieś pomiędzy jest miejsce zerowe \(\displaystyle{ f''}\).

2) można podać kontrprzykład, choćby \(\displaystyle{ f(x)=\sin\left( \pi x-\frac \pi 2\right)}\), która ma
lokalne minimum w \(\displaystyle{ x_0=0}\) i lokalne maksimum w \(\displaystyle{ x_1=1}\), a pomiędzy tymi punktami jej pochodna się nie zeruje.

ODPOWIEDZ