Metoda mnożników Lagrange'a, stronnica książki

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Eldriad
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 5 lip 2019, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko-Biała

Metoda mnożników Lagrange'a, stronnica książki

Post autor: Eldriad » 5 lip 2019, o 22:24

Zadrukowana część stronicy książki ma mieć pole \(\displaystyle{ 384\ cm^2}\). Marginesy boczne mają mieć szerokość \(\displaystyle{ 1\, cm}\), a górny i dolny po \(\displaystyle{ 1,5\, cm}\). Dobierz wymiary stronicy tak, aby na produkcję książki zużyć jak najmniej papieru.
Muszę to obliczyć metodą mnożników Lagrange'a. Dałoby radę coś pomóc?
Ostatnio zmieniony 5 lip 2019, o 22:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Temat umieszczony w złym dziale.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14383
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 4730 razy

Re: Metoda mnożników Lagrange'a, stronnica książki

Post autor: Premislav » 5 lip 2019, o 23:03

Jeżeli wymiary stronicy będą \(\displaystyle{ x \text{ cm } \times y \text{ cm }}\), to pole zapisanej części będzie wynosiło \(\displaystyle{ (x-2)\cdot (y-3) \text{ cm }}\) (oczywiście \(\displaystyle{ x>2, \ y>3}\)), więc przy warunku
\(\displaystyle{ (x-2)(y-3)=384}\) mamy zminimalizować \(\displaystyle{ xy}\). Tak było, nie zmyślam.

Wygodniej będzie podstawić na moment \(\displaystyle{ x=p+2, \ y=q+3}\) dla dodatnich \(\displaystyle{ p,q}\), wtedy mamy
\(\displaystyle{ pq=384}\) oraz
\(\displaystyle{ (p+2)(q+3)=pq+2q+3p+6\ge pq+2\sqrt{2q\cdot 3p}+6=384+96+6=486}\)
z nierówności między średnimi i równość zachodzi, gdy
\(\displaystyle{ 2q=3p}\), czyli \(\displaystyle{ 384=pq=\frac 3 2p^2}\), wobec tego \(\displaystyle{ p=16, \ q=24}\), a stąd \(\displaystyle{ x=18 , \ y=27}\).

A jak koniecznie chcesz mnożnikami Lagrange'a, to masz zminimalizować funkcję
\(\displaystyle{ f(x,y)=xy}\) przy warunku \(\displaystyle{ (x-2)(y-3)=384}\). Rozważasz funkcjonał Lagrange'a
\(\displaystyle{ \mathcal{L}(x,y,\lambda)=xy-\lambda\left( (x-2)(y-3)-384\right)}\), liczysz pochodne cząstkowe, przyrównujesz do zera, jeszcze warto się powołać na jakieś warunki, które zapewniają Ci istnienie minimum (w ostateczności zbadać hesjan obrzeżony). To jednak jest znacznie mniej przyjemne rozwiązanie…

Eldriad
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 5 lip 2019, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko-Biała

Re: Metoda mnożników Lagrange'a, stronnica książki

Post autor: Eldriad » 6 lip 2019, o 00:06

Niestety profesor wymusza użycie mnożników Lagrange'a. Już patrzę co i jak, jakby co to będę pisał.

-- 6 lip 2019, o 01:07 --

Zrobiłem coś takiego i jakieś chore wyniki mi wychodzą:
\(\displaystyle{ Q( x_{1}, x_{2})=x_{1}x_{2}; (x_{1}-2)(x_{2}-3)=384 \\ \mathcal{L}(x,y,\lambda)=xy-\lambda\left( (x-2)(y-3)-384\right) \\ \frac{L}{ x_{1} }=0 \Rightarrow x_{1} x_{2}+\lambda \\ \frac{L}{ x_{2} }=0 \Rightarrow x_{2}+\lambda \\ \frac{L}{ x_{\lambda} }=0 \Rightarrow (x_{1}-2)(x_{2}-3)=384}\)
następnie
1)\(\displaystyle{ x_{1} x_{2} - x_{2}=0}\)
\(\displaystyle{ ( x_{1}-2)=-( x_{2}-3)+384}\)
3)\(\displaystyle{ x_{1}=-( x_{2}-3)+386}\)

Po tym jak podstawiłem pkt 3 pod pkt 1 zaczęły mi wychodzić wyniki rzędu \(\displaystyle{ x_2=128}\) itp
Ostatnio zmieniony 6 lip 2019, o 21:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14383
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 4730 razy

Re: Metoda mnożników Lagrange'a, stronnica książki

Post autor: Premislav » 6 lip 2019, o 09:01

Zastosowałeś niestandardowy (i niezbyt jasny) zapis, ale dwa pierwsze równania są z pewnością błędne, wszak
dla \(\displaystyle{ \mathcal{L}(x,y,\lambda)=xy-\lambda((x-2)(y-3)-384)}\)
mamy
\(\displaystyle{ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=y-\lambda(y-3)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=x-\lambda(x-2)}\),
czyli dostajemy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=\lambda(y-3) \\ x=\lambda(x-2)\\ (x-2)(y-3)=384\end{cases}}\)
Następnie można np. zauważyć, że układ nie może być spełniony, gdy \(\displaystyle{ x=2\vee y=3}\), a dalej przyjąć \(\displaystyle{ x\neq 2, \ y\neq 3}\) i pomnożyć pierwsze równanie stronami przez \(\displaystyle{ (x-2)}\), a drugie przez \(\displaystyle{ (y-3)}\), po czym odjąć stronami np. drugie równanie od pierwszego.
Dostaniemy prostą zależność między \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ y}\), z której wystarczy wyznaczyć jedną ze zmiennych i wstawić do ostatniego równania układu.

No i potem jeszcze będzie konieczne użycie hesjanu obrzeżonego, by stwierdzić, czy w znalezionym punkcie rzeczywiście jest przyjmowane minimum warunkowe.
Warto zwrócić uwagę, że zbiór
\(\displaystyle{ \left\{ (x,y): x\in \RR^+ \wedge y\in \RR^+ \wedge (x-2)(y-3)=384\right\}}\)
nie jest zwarty, ponieważ nie jest ograniczonym podzbiorem \(\displaystyle{ \RR^2}\), więc twierdzenie Weierstrassa nam nie pomoże, trzeba kombinować inaczej.

ODPOWIEDZ