Funkcja wielu zmiennych

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Makoszet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 11 lut 2017, o 19:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Funkcja wielu zmiennych

Post autor: Makoszet » 4 lip 2019, o 20:36

Cześć,

Czy ktoś może poprowadzić mnie za "rączkę" dalej?

Zadanie: Znaleźć pkt krytyczne i ekstrema funkcji
\(\displaystyle{ f(x,y) = y^{3} + 4xy + 2x ^{2} + y ^{2} +5}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dx} = 0 + 4y + 4x + 0 + 5}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dy} = 3y ^{2} + 4x + 0 + 2y + 5}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4y + 4x + 5 = 0 \\ 3y ^{2} + 4x + 2y + 5 = 0\end{cases}}\)

Teraz powinienem wyliczyć x dla pierwszego równania i podstawić do drugiego?
Próbowałem tak to wyszło mi że:

\(\displaystyle{ x = \frac{-4y - 5}{4}}\)

Czy ja się gdzieś przypadkiem wcześniej nie pomyliłem??

Z góry dziękuję za pomoc.

EDIT 1:

Podstawiłem pod drugie równanie i wyszło mi

\(\displaystyle{ 3y ^{2} + 2y = 0}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14378
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 4729 razy

Re: Funkcja wielu zmiennych

Post autor: Premislav » 4 lip 2019, o 20:45

Niestety niepoprawnie obliczyłeś pochodne cząstkowe po \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), co tam robi ta piątka? Pochodna ze stałej jest równa zero. Reszta OK. Powinieneś więc dostać układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4y + 4x = 0 \\ 3y ^{2} + 4x + 2y = 0\end{cases}}\)
Teraz z pierwszego równania wynika, że \(\displaystyle{ y=-x}\), podstawiasz to do drugiego równania i masz do rozwiązania proste równanie kwadratowe.

Makoszet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 11 lut 2017, o 19:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Re: Funkcja wielu zmiennych

Post autor: Makoszet » 5 lip 2019, o 14:06

Faktycznie, bardzo Ci dziękuję za pomoc.

ODPOWIEDZ