Pochodne cząstkowe.

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
xwhite
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 2 lip 2019, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Pochodne cząstkowe.

Post autor: xwhite » 2 lip 2019, o 17:13

Witam, mam pytanie co do równości pochodnych cząstkowych a dokładniej tw.Schwarza, które zostało przedstawione mi w ten sposób "Jeżeli \(\displaystyle{ f''_{xy}, f''_{yx}}\) istnieją w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ (x_0, y_0)}\) i są ciagłe to są one równe". Czy na tej podstawie może wybronić odpowiedź "prawda" w poniższym zadaniu skoro nie zostało wspomniane o warunku ciągłości czy fakt, że funkcja posiada te pochodne w podzbiorze otwartym jest z tym równoznaczny?

Zad. Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f (x, y)}\) posiada w podzbiorze otwartym \(\displaystyle{ \RR^2}\) pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu \(\displaystyle{ f''_{xy}, f''_{yx}}\), to mogą być one różne.
Ostatnio zmieniony 2 lip 2019, o 18:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17170
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2886 razy

Pochodne cząstkowe.

Post autor: a4karo » 2 lip 2019, o 17:30

Przeczytaj oba zdania i poszukaj czego brak w drugim

xwhite
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 2 lip 2019, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Pochodne cząstkowe.

Post autor: xwhite » 2 lip 2019, o 17:55

a4karo, zdaję sobie sprawę, że w zadaniu brakuje warunku o ciągłości, który został podany w twierdzeniu dlatego pytam czy to, że funkcja posiada te pochodne w podzbiorze otwartym \(\displaystyle{ \RR^2}\) oznacza, że nie musi być już wspomniane o warunku ciągłości ponieważ odpowiedź "Prawda" została oceniona jako błędna.
Ostatnio zmieniony 2 lip 2019, o 18:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17170
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2886 razy

Re: Pochodne cząstkowe.

Post autor: a4karo » 2 lip 2019, o 19:36

W Fichtenholzu chyba znajdziesz przykład

xwhite
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 2 lip 2019, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Pochodne cząstkowe.

Post autor: xwhite » 3 lip 2019, o 00:43

\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} xy \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & (x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}\)

Znalazłem taką funkcję, która ma w punkcie (0,0) nierówne pochodne mieszane, ale mam pytanie czy mogę ją zastosować jako przykład dla odpowiedzi "tak" do mojego zadania skoro u mnie funkcja posiada pochodne mieszane w podzbiorze otwartym \(\displaystyle{ \RR^2}\) ?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17170
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2886 razy

Re: Pochodne cząstkowe.

Post autor: a4karo » 3 lip 2019, o 05:45

To sprawdź gdzie jeszcze ma ona pochodne mieszane (podpowiem, że wszędzie)

xwhite
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 2 lip 2019, o 16:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Pochodne cząstkowe.

Post autor: xwhite » 4 lip 2019, o 16:24

Dzięki za pomoc, problem rozwiązany.

ODPOWIEDZ