Wyznacz wersor dla którego pochodna jest największa

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Zacny_Los
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 17 gru 2017, o 23:25
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Wyznacz wersor dla którego pochodna jest największa

Post autor: Zacny_Los » 28 cze 2019, o 23:23

Należy wyznaczyć wersor, dla którego \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{v} } (e, -e)}\) ma wartość największą.
Załóżmy że gradient \(\displaystyle{ \grad f \left( \frac{1}{4}, 2\right) = \left(6e, e \right)}\).

W mojej szybkiej ocenie byłoby to po prostu \(\displaystyle{ \vec{v} = (1,0)}\), czy dobrze? A co z wartością najmniejszą? Wektor przeciwny?

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7243
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 210 razy
Pomógł: 2875 razy

Re: Wyznacz wersor dla którego pochodna jest największa

Post autor: kerajs » 29 cze 2019, o 08:45

Szklana kula i fusy po herbacie mówią że się mylisz. Ja, bez znajomości funkcji \(\displaystyle{ f}\) , nie jestem w stanie tego zweryfikować.

Zacny_Los
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 17 gru 2017, o 23:25
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Re: Wyznacz wersor dla którego pochodna jest największa

Post autor: Zacny_Los » 29 cze 2019, o 11:30

Ok, \(\displaystyle{ f(x, y)=\ln ^{2} \frac{x}{y^{2}}}\) w punkcie \(\displaystyle{ (e, -e)}\). W zadaniu trzeba było jeszcze policzyć pochodną kierunkową funkcji w kierunku wersora \(\displaystyle{ \vec{v} = \left[ \frac{ \sqrt{3} }{2}, - \frac{1}{2} \right]}\), ale to już zrobiłem. Zależy mi na wyznaczeniu tego wersora dla którego \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{v} } (e, -e)}\) ma wartość największą.
Rozwiązany gradient podałem wyżej.-- 29 cze 2019, o 22:27 --.
Ostatnio zmieniony 29 cze 2019, o 12:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7243
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 210 razy
Pomógł: 2875 razy

Re: Wyznacz wersor dla którego pochodna jest największa

Post autor: kerajs » 29 cze 2019, o 22:32

Zacny_Los pisze:Rozwiązany gradient podałem wyżej.
A konkretnie to gdzie?

Zacny_Los pisze: Zależy mi na wyznaczeniu tego wersora dla którego \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{v} } (e, -e)}\) ma wartość największą.
\(\displaystyle{ f'_x=2\ln \frac{x}{y^2} \cdot \frac{1}{ \frac{x}{y^2}} \cdot \frac{1}{y^2} \\ f'_x(e,-e)=2\ln \frac{e}{e^2} \cdot \frac{1}{ \frac{e}{e^2}} \cdot \frac{1}{e^2}=2 \cdot (-1) \cdot e \cdot \frac{1}{e^2}= \frac{-2}{e}\\ f'_y=2\ln \frac{x}{y^2} \cdot \frac{1}{ \frac{x}{y^2}} \cdot \frac{-2x}{y^3} \\ f'_y(e,-e)=2\ln \frac{e}{e^2} \cdot \frac{1}{ \frac{e}{e^2}} \cdot \frac{-2e}{-e^3}=2 \cdot (-1) \cdot e \cdot \frac{-2}{-e^2}= \frac{-4}{e}\\ \\ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{v} } (e, -e)= \frac{-2}{e}\cos \alpha + \frac{-4}{e}\sin \alpha =\frac{-2}{e}\left[\cos \alpha + 2\sin \alpha \right] =\frac{-2 \sqrt{5} }{e}\left[ \frac{1}{\sqrt{5}} \cos \alpha + \frac{2}{\sqrt{5}}\sin \alpha \right]=\\=\frac{-2 \sqrt{5} }{e}\cos\left( \alpha -\arccos \frac{1}{\sqrt{5}}\right)}\)

Pewnie teraz łatwo będzie wskazać odpowiedni wersor \(\displaystyle{ \vec{v}= \left[ \cos \alpha , \sin \alpha\right]}\)

ODPOWIEDZ