Zbadaj monotoniczność funkcji

[gosia111]

Zbadaj monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x^3}}}\).

\(\displaystyle{ D:x\in(0;+\infty)}\)

\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{\sqrt{x}(1-\frac{3}{2}\ln x)}{x^3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x}(1-\frac{3}{2}\ln x)}{x^3}>0 \quad /\cdot x^6}\)

\(\displaystyle{ x^3 \sqrt{x}(1-\frac{3}{2}\ln x)>0}\)

\(\displaystyle{ x_1=0 \vee x_2=e^{\frac{2}{3}}}\)

Jakie są zasady odnośnie rysowania tego typu wykresów? Czy tu w ogóle rysuje się wykres jak przy nierównościach wielomianowych czy rozpatrujemy dwa przypadki?

Jeżeli \(\displaystyle{ f(x)=x^3\sqrt{x}}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=1-\frac{3}{2}\ln x}\) to

\(\displaystyle{ f(x)>0 \wedge g(x)>0 \vee f(x)<0 \wedge g(x)<0}\) ?

[Janusz Tracz]

Dziedzina funkcji pochodnej jest podzbiorem funkcji zatem rozpatrywanie co się dzieje dla \(\displaystyle{ x \le 0}\) nie ma sensu (bo tam funkcja nie jest określona). Zatem znak \(\displaystyle{ f'(x)}\) zależy wyłącznie od \(\displaystyle{ 1-\frac{3}{2}\ln x}\) a nie od x-ksów które to jeszcze mnożą (one są dodatnie). Zatem rozpatrywanie \(\displaystyle{ x^3 \sqrt{x}(1-\frac{3}{2}\ln x)>0}\) sprawdza się do \(\displaystyle{ 1-\frac{3}{2}\ln x>0}\) (tam \(\displaystyle{ f}\) rożnie) w przeciwnym razie maleje.

A co to jest:

\(\displaystyle{ x_1=0 \vee x_2=e^{\frac{2}{3}}}\)

zero nie należy do dziedziny poza tym to jest nierówność a nie równanie.

Jeżeli \(\displaystyle{ f(x)=x^3\sqrt{x}}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=1-\frac{3}{2}\ln x}\) to

\(\displaystyle{ f(x)>0 \wedge g(x)>0 \vee f(x)<0 \wedge g(x)<0}\) ?

Jak wcześniej mówiłem \(\displaystyle{ x>0}\) zatem rozpatrywanie zawsze dodatniego \(\displaystyle{ f(x)=x^3\sqrt{x}}\) nic nie wnosi. Poza tym dynamicznie zmieniasz oznaczenia bo wcześniej \(\displaystyle{ f(x)}\) znaczyło co innego (uważaj na to bo wprowadza to zamęt).

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{\sqrt{x}(1-\frac{3}{2}\ln x)}{x^3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x}(1-\frac{3}{2}\ln x)}{x^3}>0 \quad /\cdot x^6}\)

\(\displaystyle{ x^3 \sqrt{x}(1-\frac{3}{2}\ln x)>0}\)

\(\displaystyle{ x_1=0 \vee x_2=e^{\frac{2}{3}}}\)

Widzisz, bez żadnego komentarza ten fragment wygląda bardzo podejrzanie.

JK

[gosia111]

Tak, tak. Oczywiście \(\displaystyle{ x_1=0}\) nie należy do dziedziny, ale np.

\(\displaystyle{ \frac{x^2-1}{x}>0 \qquad /\cdot x^2}\)

\(\displaystyle{ x(x^2-1)>0}\)

\(\displaystyle{ x_1=0, x_2=1, x_3=-1}\)

Tutaj również zero nie należy do dziedziny, ale rysując wykres zaznaczamy to zero na osi liczbowej tyle, że pustym kółeczkiem. O to mi chodziło z tym \(\displaystyle{ x_1=0}\).

A to, że \(\displaystyle{ f(x)<0 \wedge g(x)<0}\) jest sprzeczne to fakt w tym przykładzie, ale w innym już trzeba byłoby rozpatrzeć ten przypadek, tak?

Przepraszam za zamieszanie literkowe. Ogólnie chodzi mi o ogólny schemat rozwiązywania nierówności typu: \(\displaystyle{ f(x) \cdot g(x)>0}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)}\) to funkcja niewymierna a \(\displaystyle{ g(x)}\) to np. funkcja logarytmiczna, wykładnicza albo trygonometryczna.

[Janusz Tracz]

Przepraszam za zamieszanie literkowe. Ogólnie chodzi mi o ogólny schemat rozwiązywania nierówności typu: \(\displaystyle{ f(x) \cdot g(x)>0,}\) gdzie \(\displaystyle{ f(x)}\) to funkcja niewymierna a \(\displaystyle{ g(x)}\) to np. funkcja logarytmiczna, wykładnicza albo trygonometryczna.

Ogólnie trzeba rozpatrywać tak jak mówisz ale w przypadku który podajesz nie musisz tego robić bo \(\displaystyle{ x^3\sqrt{x}}\) nie jest ujemne dla \(\displaystyle{ x>0}\) zatem nie jest interesujące rozpatrywanie takiego przypadku. Nierówność

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x}(1-\frac{3}{2}\ln x)}{x^3}>0}\)

możesz bezpiecznie podzielić przez \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x} }{x^3}}\) zostając z tym o czym pisałem wyżej. Nie używaj licealnych reguł bez zastanowienia się co miały by one dać (tu nie dają nic a wręcz komplikują). Dziedzina to świętość i cały Twój świat w którym pracujesz w tym przypadku pracujesz w świecie w którym \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x} }{x^3}}\) jest zawsze dodatnie zatem dzielisz przez to i już.

[Jan Kraszewski]

Dziedzina to świętość i cały Twój świat w którym pracujesz w tym przypadku pracujesz w świecie w którym \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x} }{x^3}}\) jest zawsze dodatnie zatem dzielisz przez to i już.

Technicznie tak, ale taki zapis bez komentarza to porażka. Dużo lepiej jest napisać:

"Ponieważ dla \(\displaystyle{ x\in \left( 0;+\infty \right)}\) wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x} }{x^3}}\) jest zawsze dodatnie, więc

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x} \left( 1-\frac{3}{2}\ln x \right) }{x^3}>0\iff 1-\frac{3}{2}\ln x>0.}\)

Wobec tego \(\displaystyle{ f' \left( x \right) >0}\) dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ \ln x<\frac23}\), czyli dla \(\displaystyle{ x\in \left( 0,e^{\frac23} \right) .}\)"

JK

[gosia111]

Szczerze tak sądziłam, że próba rysowania tego, tak jak przy nierównościach wielomianowych czy wymiernych, jest bez sensu, ale wolałam się upewnić. Bardzo dziękuję

[Janusz Tracz]

Jan Kraszewski

Technicznie tak, ale taki zapis bez komentarza to porażka.

Ależ oczywiście zgadzam się w \(\displaystyle{ 100 \%}\) zawsze podzielaliśmy to samo stanowisko odnośnie wartości komentarza i w tym przypadku nie jest inaczej. Zatem gosia111 pisz rozwiązania zadań matematycznych z użyciem zdań w języku polskim, a znaczki matematyczne zostaw w razie konieczności. Będzie to z korzyścią dla Ciebie i Twoich słuchaczy.