Równianie płaszczyzny stycznej - dwa wzory?

[Zacny_Los]

Wiem, że są dwa wzory:
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+\frac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0}\)

i
\(\displaystyle{ -\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)-\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0)+(z-z_0)=0}\).

Czy można ich używać zamiennie?


Jeśli mam np. zadanie z podanymi wszystkimi trzema współrzędnymi:
Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do \(\displaystyle{ (x+2)^{2}+(y-3)^{2}+z^{2}=6}\) w punkcie \(\displaystyle{ P(0, 2, -1)}\).
Czy muszę wyznaczać \(\displaystyle{ z}\) z równania i stosować drugi wzór, czy mogę użyć tego pierwszego?

Używając pierwszego wzoru otrzymuję:
Po uporządkowaniu funkcji:
\(\displaystyle{ x^{2}+2x+y^{2}-6y+z^{2}+7=0}\)
z pochodnych kolejnych zmiennych w punkcie:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = 2x+2 = 2}\) (w punkcie 0)
itd.
Otrzymuję:
\(\displaystyle{ 2(x-0)-2(y-2)-2(z-1)=0}\)
Czy jest to poprawne rozwiązanie, czy może używam nie tego wzoru co trzeba?

[kerajs]

Wiem, że są dwa wzory:
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+\frac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0}\)

i
\(\displaystyle{ -\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)-\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0)+(z-z_0)=0}\).

Czy można ich używać zamiennie?

Tak naprawdę to jest tylko jeden wzór który, wyłącznie dla funkcji o formie: \(\displaystyle{ z=f(x,y)}\) upraszcza się do postaci którą nazywasz wzorem drugim. I częściej jest on w postaci:
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}\bigg| _{(x_0,y_0)} \cdot (x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\bigg| _{(x_0,y_0)} \cdot (y-y_0)-(z-z_0)=0}\)
gdyż liczony jest wtedy z \(\displaystyle{ F(x,y,x)=f(x,y)-z}\)