Wyznaczyć równania płaszczyzn stycznych do powierzchni

[Zacny_Los]

Wyznaczyć równania płaszczyzn stycznych do powierzchni \(\displaystyle{ f(x, y) = x^{3}+y^{2}-6xy+15x}\) w punktach, w których są one równoległe do płaszczyzny \(\displaystyle{ 6x-2y-z=0}\).

Moja próba rozwiązania:
Wektor normalny płaszczyzny:
\(\displaystyle{ [6, -2, -1]}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = 3x^{2}-6y+15}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} = 2y-6x}\)
\(\displaystyle{ 3x^{2}-6y+15=6}\)
\(\displaystyle{ 2y-6 = -2}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ x=1 \wedge y=2}\)
lub:
\(\displaystyle{ x=5 \wedge y = 14}\)

Jak teraz napisać równanie płaszczyzny?
Proszę o ocenę i pomoc.

[MrCommando]

Wystarczy podstawić do gotowego wzoru. Skoro policzyłeś te pochodne i rozwiązałeś jakieś równania, to wnioskuję, że wiesz, że równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ z=f(x,y)}\) w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) to jest \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)-(z-f(x_0,y_0))=0}\), o ile oczywiście \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\).

[Zacny_Los]

Ok, chyba rozumiem, właśnie \(\displaystyle{ z}\) mi brakowało.

Inne, podobne pytanie:

Znaleźć r-nie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x, y)=y^{3}+ \sqrt{1-x^{2}y^{2}}}\) w punkcie jego przecięcia z osią Oy.

Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} = 3y^{2} + \frac{2yx^{2}}{2 \sqrt{1-x^{2}y^{2}} }}\)

w x=0
\(\displaystyle{ f(0, y) = y^{3}+1}\), więc pochodna będzie ta sama, jak wcześniej, tyle że z podstawionym 0 w x.

I... co dalej powinienem zrobić? Nie mam wartości y...

[MrCommando]

Zastanów się nad tym, co to będzie znaczyło, że ten wykres przetnie oś \(\displaystyle{ Oy}\). W takim punkcie przecięcia również wartość \(\displaystyle{ z}\) będzie zerowa, czyli będzie \(\displaystyle{ f(x,y)=0}\). Najlepiej spróbować wyobrazić sobie jak ten wykres będzie wyglądać.

[Zacny_Los]

Czyli ostateczna odpowiedź będzie \(\displaystyle{ z=3y+3}\) (jako r-nie płaszczyzny)?