Na forum pojawiło się zadanie z egzaminu z Ekonomii Matematycznej o następującej treści.
Proszę przedstawić ilustrację geometryczną krzywej obojętności (izokwanty) funkcji użyteczności określonej wzorem:
\(\displaystyle{ u(x_1,x_2 )=1-e^{-x_1-2x_2 }= 1 - e^{-(x_{1}+2x_{2})}}\)
zawierającej koszyk \(\displaystyle{ x=(1,2).}\) Wyprowadzić stosowne wzory.
Rozwiązanie
Krzywa obojętności jest zdefiniowana jako miejsce geometryczne kombinacji dóbr \(\displaystyle{ (x_{1}, x_{2}),}\) należących do pewnego koszyka dla których poziom użyteczności - wartość funkcji użyteczności \(\displaystyle{ u}\) jest stała.
Oznacza to, że na krzywej użyteczności różniczka funkcji użyteczności \(\displaystyle{ du}\) musi znikać.
\(\displaystyle{ du (x_{1}, x_{2}) = 1\cdot e^{-(x_{1}+2x_{2})}dx_{1} +2e^{-(x_{1}+2x_{2})}dx_{2} = 0.}\)
Stąd otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ \frac{dx_{2}}{dx_{1}} = -\frac{e^{-(x_{1}+2x_{2})}}{2e^{-(x_{1}+2 x_{2})}} = -\frac{1}{2} = - \frac{u_{|x1}}{u_{|x2}}.}\)
Jeśli sporządzimy wykres krzywej obojętności na płaszczyźnie \(\displaystyle{ Ox_{1} x_{2}}\) to jej nachylenie \(\displaystyle{ \frac{d x_{2}}{dx_{1}} = -\frac{1}{2}}\) musi być równe liczbie przeciwnej do ilorazu użyteczności krańcowych.
Ponieważ zakłada się, że użyteczności krańcowe \(\displaystyle{ u_{|x1}}, u_{|x2}}\) są większe od zera, więc nachylenie krzywej obojętności musi być ujemne.
Odwrotnie. ponieważ iloraz \(\displaystyle{ \frac{u_{x|1}}{u_{x|2}}}\) jest liczbą przeciwną do nachylenia krzywej obojętności, więc musi reprezentować krańcową stopę substytucji dwóch dóbr \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}.}\)
Uwzględniając koszyk dóbr \(\displaystyle{ x = (1, 2)}\) i siłę nabywczą (ograniczenie budżetowe) konsumenta \(\displaystyle{ 1x_{1}+2x_{2} = K}\) możemy zapisać w postaci
\(\displaystyle{ x_{2} = -\frac{1}{2}x_{1} + \frac{1}{2}K , \ \ K>0}\) - stała liczba
W świetle tych rozważań okazuje się, że z warunku zerowania się różniczki pierwszego rzędu plus ograniczenie budżetowe wynika iż w celu zmaksymalizowania użyteczności konsument musi rozdysponować swój budżet tak, aby nachylenie linii budżetu (na której musi pozostawać) było równe nachyleniu \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) krzywej obojętności.