Znaleźć ekstrema funkcji

[Izab321]

Znajdź ekstrema funkcji :\(\displaystyle{ f(x,y,x)= \frac{1}{x}+ \frac{x ^{2} }{y}+ \frac{y ^{2} }{z}+z ^{2}}\)

w obszarze \(\displaystyle{ x>0 ,y>0, z>0}\)

Nwm jak interpretować ten obszar i jak liczyć to w związku z tym .

[Jan Kraszewski]

w obszarze \(\displaystyle{ x>0 ,y>0, z>0}\)

Nwm jak interpretować ten obszar

A jaką trudność sprawia interpretacja tego obszaru?

JK

[Janusz Tracz]

Można by się przyjrzeć takiej sumie równej naszej funkcji:

\(\displaystyle{ f(x,y,z)= \frac{1}{8x}+\frac{1}{8x}+\frac{1}{8x}+\frac{1}{8x}+\frac{1}{8x}+\frac{1}{8x}+\frac{1}{8x}+ \frac{1}{8x}+ \frac{x^2}{4y}+\frac{x^2}{4y}+\frac{x^2}{4y}+\frac{x^2}{4y}+\frac{y^2}{2z}+\frac{y^2}{2z}+z^2.}\)

Bo z nierówności między średnimi zachodzi

\(\displaystyle{ f \ge 15\sqrt[15]{\left( \frac{1}{8} \right)^8 \left( \frac{1}{4}\right) ^4 \left( \frac{1}{2}\right) ^2 }}\)

to dobry kandydat na minimum możliwe do osiągnięcia, gdy wszystkie wyrazy owej sumy byłyby równe. Maksimum nie ma, co widać puszczając \(\displaystyle{ z \rightarrow \infty}\).

-- 5 cze 2019, o 22:31 --

\(\displaystyle{ \frac{1}{8x}= \frac{x^2}{4y}= \frac{y^2}{2z}=z^2}\)

jest spełnione dla \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right)=\left( \frac{1}{2^{ \frac{11}{15} }} , \frac{1}{2 \sqrt[5]{2} } ,\frac{1}{2 \cdot 2^{ \frac{2}{15} }} \right)}\) toteż tam minimum zostanie osiągnięte. A kandydat stanie się minimum formalnie udowodnionym.

[Izab321]

Po prostu policzę w standardowy sposób ekstrema lokalne.
I nwm czy mam jakoś liczyć z tych warunków z obszaru tez czy tylko uwzględnić je gdy np. wyjdzie\(\displaystyle{ x=-1}\) i go odrzucić.

[Premislav]

No a zastanów się nad treścią zadania. Czy jeśli ktoś Cię pyta, kto jest najwyższy w Twojej klasie, a Ty odpowiadasz, że w szkole to najwyższy jest Jan Rodzeń, który należy do innej klasy, to udzieliłaś poprawnej odpowiedzi? No jasne, że odrzucasz,

[Izab321]

Chyba źle formułuje moje pytania . Moja wątpliwość dotyczy tego czy używam warunku \(\displaystyle{ x>0, y>0, z>0}\) tylko aby odrzucić (co jest oczywiste i tu nie mam jakichkolwiek wątpliwości) czy jeszcze muszę coś z tym obszarem robić.

Może teraz jaśniej się wyraziłam

[Premislav]

W tym przypadku nie bardzo, ale w ogólności zdarza się, że coś więcej z tym obszarem kombinujemy (np. kiedy mamy kilka punktów krytycznych i musimy skądś wiedzieć, że w ogóle wartość najmniejsza/największa na danym zbiorze jest przyjmowana, por. twierdzenie Weierstrassa: funkcja ciągła o wartościach rzeczywistych określona na niepustym zbiorze zwartym osiąga swoje kresy na tym zbiorze – tutaj nie ma ono zastosowania, gdyż zbiór zwarty nie jest).

Podpowiedź: z wyliczenia pochodnych cząstkowych (jeszcze hesjan trzeba zbadać) wyjdzie Ci lokalne minimum, jest ono też w ogóle minimum na tym zbiorze, a maksimum nie jest osiągane, wystarczy wziąć np. \(\displaystyle{ y=z=1, x\rightarrow 0^+}\), by się o tym przekonać.

Moim zdaniem jednak rozwiązanie, które zaproponował Janusz Tracz, jest znacznie lepsze, gdyż i tak po uzyskaniu tego podejrzanego punktu (lub punktów) i obliczenia dla nich hesjanu i tak co najwyżej wiesz, iż znalazłaś lokalne ekstremum, i trzeba się jakoś wytłumaczyć, że to naprawdę np. najmniejsza wartość funkcji na tym zbiorze (można rozważając hesjan w tym obszarze pobredzić o wypukłości). A szacowanie z nierówności między średnimi wraz ze wskazaniem miejsca, w którym zachodzi równość, od razu załatwia sprawę.

[Izab321]

Liczę to standardowo z pochodnych i wyszło mi :
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}y=2x ^{3}\\2y ^{3}=x ^{2}z \\2z ^{3}=y ^{2} \end{array}}\)

Problem z tym ,że wychodzi mi \(\displaystyle{ x=0}\) a to jest sprzeczne z założeniami

[Jan Kraszewski]

Problem z tym, że wychodzi mi \(\displaystyle{ x=0}\) a to jest sprzeczne z założeniami

To może pokaż, jak Ci to wychodzi, bo Januszowi Traczowi wyszło inaczej...

\(\displaystyle{ \frac{1}{8x}= \frac{x^2}{4y}= \frac{y^2}{2z}=z^2}\)

jest spełnione dla \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right)=\left( \frac{1}{2^{ \frac{11}{15} }} , \frac{1}{2 \sqrt[5]{2} } ,\frac{1}{2 \cdot 2^{ \frac{2}{15} }} \right)}\)

JK