Badanie istnienia różniczki

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Izab321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 maja 2019, o 15:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy

Badanie istnienia różniczki

Post autor: Izab321 »

Mam zbadać czy istnieje różniczka funkcji w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) funkcji
\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} \frac{ (x \cdot y ) }{x ^{2}+y ^{2}} &\text{dla } (x,y) \neq (0,0)\\0&\text{dla }(x,y)=(0,0) \end{cases}}\)

Jakie sa warunki na istnienie różniczki ? rózniczkowalność+ ciągłość? Czy może sama różniczkowalność?
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Badanie istnienia różniczki

Post autor: MrCommando »

Akurat to że funkcja jest różniczkowalna w punkcie oznacza, że ma ona różniczkę (taka jest definicja). Więc to co piszesz to takie masło maślane.

Sprawdzasz czy w zerze istnieją pochodne cząstkowe. Jeśli istnieją, to sprawdzasz czy \(\displaystyle{ \lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f(0+h_1,0+h_2)-f(0,0)-f'_x(0,0)h_1-f'_y(0,0)h_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0}\)
Izab321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 maja 2019, o 15:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy

Badanie istnienia różniczki

Post autor: Izab321 »

Mam problem jeszcze ze znalezieniem pochodnych kierunkowych w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) w kierunku dowolnego wektora niezerowego funkcji :
\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} \frac{\sin (x ^{3}-y ^{3} ) }{x ^{2}+y ^{2}} &\text{dla } (x,y) \neq (0,0)\\0&\text{dla }(x,y)=(0,0) \end{cases}}\)

Ogólnie wiem jak się liczy te pochodne kierunkowe , ale mam problem, żeby je wyznaczyć do końca dostaje ostatecznie coś takiego

\(\displaystyle{ \lim_{t\to0} \frac{\sin ((tkx) ^{3}-(tky) ^{3} )}{(tkx) ^{2}(tky) ^{2}}}\) i nie wiem jak to dalej liczyć
Ostatnio zmieniony 5 cze 2019, o 16:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Badanie istnienia różniczki

Post autor: MrCommando »

Skorzystaj z granicy specjalnej \(\displaystyle{ \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1}\). Swoją drogą to źle podstawiasz do wzoru, no i co to jest \(\displaystyle{ k}\)?
Izab321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 maja 2019, o 15:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy

Re: Badanie istnienia różniczki

Post autor: Izab321 »

Czemu źle liczę , zauważ , że pisałam o pochodnej kierunkowej nie różniczce . Tak roblismy na zajęciach , więc myślę , że jest ok.
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Re: Badanie istnienia różniczki

Post autor: MrCommando »

No to pokaż jak liczysz w takim razie.
Izab321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 maja 2019, o 15:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy

Badanie istnienia różniczki

Post autor: Izab321 »

Już wiem o co ci chodzi, fakt , źle zapisałam miało być \(\displaystyle{ k}\) z indeksem x i y a wyszło jakby to było mnożenie . Mój błąd.
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Re: Badanie istnienia różniczki

Post autor: MrCommando »

No i w mianowniku powinna być suma a nie iloczyn, no i musisz podzielić wszystko jeszcze przez \(\displaystyle{ t}\).
ODPOWIEDZ