Znaleźć ekstrema warunkowe stosując metodę Lagrange'a

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Izab321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 maja 2019, o 15:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy

Znaleźć ekstrema warunkowe stosując metodę Lagrange'a

Post autor: Izab321 » 30 maja 2019, o 12:33

Mam problem z tymi przykładami
a) \(\displaystyle{ f(x,y,z)= x^{2}+y^{2} +z^{2}}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ bx+my+nz=0}\) oraz\(\displaystyle{ (x^{2} +y^{2} +z^{2}) ^{2}=a^{2} x^{2} +b^{2} y^{2} +c^{2} z^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ f(x _{1},x _{2},...,x _{n})=x _{1} ^{p}+x _{2} ^{p} +...+x _{n} ^{p}}\)
gdzie \(\displaystyle{ p>1}\) pod warunkiem, że \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}+...+x _{n}=a(a>0)}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14957
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 4953 razy

Re: Znaleźć ekstrema warunkowe stosując metodę Lagrange'a

Post autor: Premislav » 30 maja 2019, o 12:57

Jakieś założenia na temat zmiennych poza tym, co powyżej, się pojawiły? Bo w drugim przykładzie to może być istotne, co to ma być np. \(\displaystyle{ (-1)^{\pi}}\)?

Jeśli w b) zmienne miały być nieujemne (bez czego, jak pisałem, treść nie bardzo ma sens), to proste,
rozważasz funkcjonał Lagrange'a
\(\displaystyle{ L(x_1, \ldots x_n, \lambda)=x _{1} ^{p}+x _{2} ^{p} +...+x _{n} ^{p} -\lambda(x_1+\ldots+x_n-a)}\)
i przyrównanie do zera jego pochodnych cząstkowych daje
\(\displaystyle{ \begin{cases} px_1^{p-1}=\lambda \\ px_2^{p-1}=\lambda\\ \ldots px_n^{p-1}=\lambda\\ x_1+\ldots+x_n=a\end{cases}}\)
zaś funkcja \(\displaystyle{ 0\le t\mapsto pt^{p-1}}\) dla \(\displaystyle{ p>1}\) jest rosnąca, więc różnowartościowa, stąd wniosek, że
\(\displaystyle{ x_1=x_2=\ldots=x_n=\frac a n}\).
No i trzeba jeszcze będzie zbadać sytuacje ekstremalne, tj. tutaj \(\displaystyle{ x_i=a}\) dla pewnego \(\displaystyle{ i\in\left\{ 1,2,\ldots n\right\}}\), a pozostałe zera.
I znowu twierdzenie Weierstrassa.

Izab321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 maja 2019, o 15:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy

Re: Znaleźć ekstrema warunkowe stosując metodę Lagrange'a

Post autor: Izab321 » 30 maja 2019, o 13:14

Nie było dodatkowych założeń.
Mam jeszcze jeden problem mam funkcję \(\displaystyle{ f \left( x,y,x \right) =x-2+z}\) i warunek \(\displaystyle{ x+ y^{2}- z^{2}=1}\)
Wyliczyłam punkt \(\displaystyle{ \left( \frac{5}{4},0, \frac{-1}{2} \right) , \lambda=-1}\)

Stworzyłam macierz Hessego
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&-2&0\\0&0&-2\end{array}\right]}\)czyli nie da się określić czy jest ekstremum bo wyznaczniki są \(\displaystyle{ 0}\)
W odpowiedziach jest , że nie ma ekstremow warunkowych jak mam to udowodnić?
Ostatnio zmieniony 30 maja 2019, o 13:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14957
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 4953 razy

Re: Znaleźć ekstrema warunkowe stosując metodę Lagrange'a

Post autor: Premislav » 30 maja 2019, o 14:50

No to bez dodatkowych założeń jest do bani, podpunkt b) nie ma sensu. Dla \(\displaystyle{ x_i\ge 0}\) można zaś postąpić tak, jak powyżej napisałem.
A szybsze rozwiązanie podpunktu b) przy założeniu nieujemności \(\displaystyle{ x_i}\) byłoby takie:
z nierówności między średnimi potęgowymi mamy dla \(\displaystyle{ p>1}\):
\(\displaystyle{ \left( \frac 1 n \sum_{i=1}^{n}x_i^p \right)^{\frac 1 p}\ge \frac 1 n \sum_{i=1}^{n}x_i=\frac a n}\) z równością dla równych zmiennych, podnosimy to potem stronami do potęgi \(\displaystyle{ p.}\)
Z drugiej strony funkcja \(\displaystyle{ g(t)=t^p}\) dla \(\displaystyle{ p>1}\) jest wypukła w nieujemnych, więc przyjmuje swoją wartość najmniejszą na przedziale zawartym w \(\displaystyle{ [0,+infty)}\) w jednym z jego krańców i stad łatwo wywnioskować, że gdy nieujemne \(\displaystyle{ x_i}\) sumują się do \(\displaystyle{ a}\), to
\(\displaystyle{ f(x_1, \ldots x_n)\le \max\left\{ f(a,0,\ldots 0), \ f(0,a,\ldots 0), \ldots f(0,0,\ldots 0, a)\right\} =a^p}\)
Ale to w ramach ciekawostki.

Co do nowego zadania, jak weźmiemy dowolne \(\displaystyle{ y=z}\) oraz \(\displaystyle{ x=1}\), to warunek
\(\displaystyle{ x+ y^{2}- z^{2}=1}\) będzie spełniony, ale
\(\displaystyle{ f(1, y,y)=y-1}\) i biorąc \(\displaystyle{ y\rightarrow+\infty}\) mamy dowolnie duże wartości \(\displaystyle{ f}\), podobnie biorąc \(\displaystyle{ y\rightarrow-\infty}\) mamy dowolnie małe wartości \(\displaystyle{ f}\).

Jak to zauważyć? Znów: doświadczenie (którego przybywa z przerobionymi zadaniami oczywiście) lub błyskotliwość (której ja jestem pozbawiony).

ODPOWIEDZ