Metoda mnożników Lagrange'a

[Izab321]

Znaleźć maksimum funkcji \(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=xyxt}\) na zbiorze \(\displaystyle{ S=\left\{ (x,y,z,t): x+y+z+t=c, x \ge 0,y \ge 0, z \ge 0,t \ge 0\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ c>0}\)

Zatem wprowadziłam funkcję \(\displaystyle{ L (x,y,z,t)=xyxt+ \alpha x+ \alpha y+ \alpha z+ \alpha t}\)
Obliczyłam pochodne cząstkowe i otrzymałam układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}yzt+ \alpha =0\\xzt+ \alpha =0\\ xyt+\alpha=0\\xyz+ \alpha =0\\x+y+z+t=C\end{array}}\)

Nie wiem jak wyliczyć ten punkt próbowałam rozwiązać ten układ ale zapętlam się w nim i co dalej jak obliczę ten punkt już?

[Premislav]

A czemu nie tak:
\(\displaystyle{ xyzt\le \left( \frac{x+y}{2}\right)^2\left( \frac{z+t}{2}\right)^2\le \left( \frac{x+y+z+t}{4} \right)^4= \frac{c^4}{256}}\)
Równość dla \(\displaystyle{ x=y=z=t=\frac c 4}\).

A jak koniecznie chcesz mnożnikami, to
odejmij np. drugie równanie od pierwszego, a czwarte od trzeciego, co daje
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}(y-x)zt =0\\xzt+ \alpha =0\\ xy(t-z)=0\\xyz+ \alpha =0\\x+y+z+t=c\end{array}}\)
no i kiedy zachodzi np. \(\displaystyle{ (y-x)zt=0}\)?

[Jan Kraszewski]

Znaleźć maksimum funkcji \(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=xyxt}\)

Na pewno wzór wygląda w ten sposób? Bo ja spodziewałbym się raczej \(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=x^2yt}\). Może chodziło o \(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=xyzt}\) ?

JK

[Izab321]

Tak chodziło o \(\displaystyle{ f(x,y,z,t)= xyzt}\)

Czyli musze rozdzielic to na trzy przypadki , gdy \(\displaystyle{ x=y}\) lub \(\displaystyle{ z=0}\) lub\(\displaystyle{ t=0}\) tak ?
I wyjdzie jeden punkt ?

A co do tego sposobu z oszacowaniem to oszacowaliśmy przez coś większego , ale skąd wiemy , że akurat ten punkt jest podejrzany, o to , że jest w nim maksimum funkcji?

[Premislav]

Czyli musze rozdzielic to na trzy przypadki , gdy \(\displaystyle{ x=y}\) lub \(\displaystyle{ z=0}\) lub\(\displaystyle{ t=0}\) tak ?

Zgadza się.

A co do tego sposobu z oszacowaniem to oszacowaliśmy przez coś większego , ale skąd wiemy , że akurat ten punkt jest podejrzany, o to , że jest w nim maksimum funkcji?

Z doświadczenia (np. w moim przypadku) lub dzięki spostrzegawczości (w przypadku osób uzdolnionych). Jak masz przećwiczyć klasyczne metody, które przydadzą się na kolosie czy egzaminie, a nie masz doświadczenia w takich szacowaniach, to może faktycznie lepiej skupić się na mnożnikach.

[Izab321]

Przypadek \(\displaystyle{ x=y}\) rozwiązałam wyszedł punkt \(\displaystyle{ ( \frac{c}{4} ,\frac{c}{4},\frac{c}{4},\frac{c}{4})}\)
Ale przypadek \(\displaystyle{ z=0}\) lub \(\displaystyle{ t=0}\) nie mogę doliczyć do końca bo zapętla mi się i wychodzi mi \(\displaystyle{ 0=0}\) , a próbowałam juz kilka razy.

A jak już znajdę ten punkt to co dalej ?

[Premislav]

Zauważ, że jeśli którakolwiek zmienna jest równa \(\displaystyle{ 0}\), to \(\displaystyle{ xyzt=0<f\left( \frac c4, \frac c 4, \frac c4, \frac c4\right)}\)
Dalej należałoby skorzystać z twierdzenia Weierstrassa: funkcja ciągła na niepustym zbiorze zwartym osiąga swoje kresy. A zbiór \(\displaystyle{ S}\) jest w dość oczywisty sposób zwarty (jest bowiem domkniętym i ograniczonym podzbiorem w przestrzeni euklidesowej), no i jest niepusty, bo np.
\(\displaystyle{ \left( 0,0,0,c\right)\in S}\).