Minimum z warunkiem

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ |x| < 2, \ |y|<2}\) oraz \(\displaystyle{ xy=-1}\). Wyznaczyć minimum wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{4}{4-x^2} + \frac{9}{9-y^2}}\).

/z wykorzystaniem pochodnych lub bez…

[kerajs]

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{4}{4-x^2} + \frac{9}{9- \frac{1}{x^2} } \ \ \ \wedge x \in \left\langle -2,2\right\rangle \setminus \left\{0 \right\} \\
f(x)= \frac{4}{4-x^2} + 1+\frac{1}{9x^2- 1 }}\)
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{-4(-2x)}{(4-x^2)^2} +\frac{-1(18x)}{(9x^2- 1)^2 }\\
f'=0 \Rightarrow x^2= \frac{2}{3}\\
f_{min}= \frac{12}{5}}\)

[Premislav]

A bez pochodnych można tak:
z nierówności Cauchy'ego-Schwarza w formie Engela i z oczywistej nierówności w rzeczywistych \(\displaystyle{ a^2+b^2\ge 2|ab|}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{4}{4-x^2} + \frac{9}{9-y^2}= \frac{1}{1- \frac{x^2}{4} }+ \frac{1}{1- \frac{y^2}{9} }\ge \frac{(1+1)^2}{2-\left( \frac{x^2}4+\frac{y^2}9\right) }\ge \frac{4}{2-\frac 1 3|xy|}=\frac{12}5}\)
i równość zachodzi np. dla \(\displaystyle{ x=\frac 2 3\sqrt{\frac 3 2}, \ y=-\sqrt{\frac 3 2}}\)