Maksimu i minimum

[problem_matematyczny]

Niech \(\displaystyle{ K= \left\{ (x,y)\in\RR ^{2} : \left| x\right|+\left| y\right| \le 1 \right\}}\) zaś \(\displaystyle{ f(x,y)=xy ^{2}}\). Znajdź minimum i maksimum \(\displaystyle{ f}\) na zbiorze \(\displaystyle{ K}\).

Wiem, że musze rozpatrzyć to zadanie na to co się dzieje we wnętrzu i na brzegach

Jak sprawdzam wnętrze:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}= y ^{2} \\
\frac{ \partial f}{ \partial y}=2xy}\)
Przyrównuje do zera i wychodzi \(\displaystyle{ y=0}\) i \(\displaystyle{ x=0}\).

I czy wychodzi mi, ze potencjalnym kandydatem jest \(\displaystyle{ P=(0,0)}\).

I dalej nie wiem jak zbadać co się dzieje na brzegach. Widzę, że przedział bedzie \(\displaystyle{ \left\langle -1,1 \right\rangle}\) ale nie wiem co następnie zrobić.

[szw1710]

Mamy na brzegu \(\displaystyle{ |y|=1-|x|}\), więc \(\displaystyle{ y^2=(1-|x|)^2.}\) Znajdź ekstrema funkcji \(\displaystyle{ g(x)=x(1-|x|)^2}\) na przedziale \(\displaystyle{ \langle -1,1\rangle.}\) Zauważ, że \(\displaystyle{ g(-x)=-g(x)}\), więc \(\displaystyle{ g}\) jest nieparzysta. Dlatego wystarczy rozpatrzeć przedział \(\displaystyle{ \langle 0,1\rangle}\) z funkcją \(\displaystyle{ g(x)=x(1-x)^2.}\) To już łatwe do zbadania. Oczywiście potem rozszerz to w sposób nieparzysty na cały przedział.