Matematyka.pl

Do rzeki o szerokości \(\displaystyle{ a = 15m}\) dochodzi pod kątem prostym kanał o szerokości \(\displaystyle{ b =
4m}\) . Znaleźć długość największej kłody drewna (szerokość zaniedbujemy), którą można spławić tym kanałem.

Prosiłabym o pomoc z tym zadaniem

Znajdujemy ekstremum lokalne funkcji

\(\displaystyle{ l(\phi) = \frac{a}{\sin(\phi)} + \frac{b}{\cos(\phi)}}\) (rysunek)

dla

\(\displaystyle{ \phi^{*} = \arctg\left( \sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)}\)

i największą długość kłody równą

\(\displaystyle{ l_{max} = l(\phi^{*})= \left( a^{\frac{2}{3}} +b^{\frac{2}{3}}\right )^{\frac{3}{2}} m.}\)

Wrzućmy to w układ współrzędnych. Rzeka to pas \(\displaystyle{ 0 \le x \le 15}\), a kanał to część pasa \(\displaystyle{ 0 \le y \le 4}\) leżąca w I ćwiartce. Najdłuższa kłoda to najkrótszy odcinek jaki dodatnie półosie układu współrzędnych odcinają z prostych przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ \left( 15,4 \right)}\).

Równanie tych prostych to: \(\displaystyle{ y-4=a \left( x-15 \right) \ \ \wedge \ \ a<0}\)

Przechodzą one przez punkty: \(\displaystyle{ \left( 0,-15a+4 \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac{15a-4}{a}, 0 \right)}\)

Odległość między nimi to:
\(\displaystyle{ d \left( a \right) = \sqrt{ \left( \frac{15a-4}{a} \right) ^2+ \left( 15a-4 \right) ^2} =\sqrt{ \left( 15a-4 \right) ^2 \left( 1+ \frac{1}{a^2} \right) }}\)
Osiąga ona minimum dla:
\(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{ \frac{-4}{15} }}\)

więc najdłuższa kłoda ma długość: \(\displaystyle{ d \left( \sqrt[3]{ \frac{-4}{15} } \right) =...}\)