Największa kłoda drewna

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
aneta909811
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 119
Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 23 razy

Największa kłoda drewna

Post autor: aneta909811 » 13 maja 2019, o 20:14

Do rzeki o szerokości \(\displaystyle{ a = 15m}\) dochodzi pod kątem prostym kanał o szerokości \(\displaystyle{ b = 4m}\) . Znaleźć długość największej kłody drewna (szerokość zaniedbujemy), którą można spławić tym kanałem.

Prosiłabym o pomoc z tym zadaniem
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5939
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1284 razy

Re: Największa kłoda drewna

Post autor: janusz47 » 13 maja 2019, o 20:51

Znajdujemy ekstremum lokalne funkcji

\(\displaystyle{ l(\phi) = \frac{a}{\sin(\phi)} + \frac{b}{\cos(\phi)}}\) (rysunek)

dla

\(\displaystyle{ \phi^{*} = \arctg\left( \sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)}\)

i największą długość kłody równą

\(\displaystyle{ l_{max} = l(\phi^{*})= \left( a^{\frac{2}{3}} +b^{\frac{2}{3}}\right )^{\frac{3}{2}} m.}\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7669
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 232 razy
Pomógł: 3026 razy

Re: Największa kłoda drewna

Post autor: kerajs » 14 maja 2019, o 17:18

Wrzućmy to w układ współrzędnych. Rzeka to pas \(\displaystyle{ 0 \le x \le 15}\), a kanał to część pasa \(\displaystyle{ 0 \le y \le 4}\) leżąca w I ćwiartce. Najdłuższa kłoda to najkrótszy odcinek jaki dodatnie półosie układu współrzędnych odcinają z prostych przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ \left( 15,4 \right)}\).

Równanie tych prostych to: \(\displaystyle{ y-4=a \left( x-15 \right) \ \ \wedge \ \ a<0}\)

Przechodzą one przez punkty: \(\displaystyle{ \left( 0,-15a+4 \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac{15a-4}{a}, 0 \right)}\)

Odległość między nimi to:
\(\displaystyle{ d \left( a \right) = \sqrt{ \left( \frac{15a-4}{a} \right) ^2+ \left( 15a-4 \right) ^2} =\sqrt{ \left( 15a-4 \right) ^2 \left( 1+ \frac{1}{a^2} \right) }}\)
Osiąga ona minimum dla:
\(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{ \frac{-4}{15} }}\)

więc najdłuższa kłoda ma długość: \(\displaystyle{ d \left( \sqrt[3]{ \frac{-4}{15} } \right) =...}\)
Ostatnio zmieniony 14 maja 2019, o 17:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ