optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6399
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Re: optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: kruszewski » 10 lip 2019, o 03:25

Przepraszając najserdeczniej obu Panów mdd i janusz47 za namolność pozwolę sbie na pytanie:
jeżeli korytarze mają szerokości \(\displaystyle{ 1 \ m \ i \ 2 \ m}\), to jaką szerokość i może mieć ta szafa jeżeli jej głębokość jest równa \(\displaystyle{ 0,9 \ m}\) ?

Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1870
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 505 razy

optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: mdd » 10 lip 2019, o 11:25

kruszewski pisze:jeżeli korytarze mają szerokości \(\displaystyle{ 1 \ m \ i \ 2 \ m}\), to jaką szerokość i może mieć ta szafa jeżeli jej głębokość jest równa \(\displaystyle{ 0,9 \ m}\) ?
Zatem: \(\displaystyle{ a=1 \ \text{m}, b=2 \ \text{m}, n=0,9 \ \text{m}}\)

Szukamy: \(\displaystyle{ m_k=?}\)

W takim razie należy rozwiązać układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} b=n \cdot \sin \alpha_k+m_k \cdot \cos^3 \alpha_k \\ a=n \cdot \cos \alpha_k+m_k \cdot \sin^3 \alpha_k \end{cases}}\)

...czyli

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2=0,9 \cdot \sin \alpha_k+m_k \cdot \cos^3 \alpha_k \\ 1=0,9 \cdot \cos \alpha_k+m_k \cdot \sin^3 \alpha_k \end{cases}}\)

Nie chce mi się liczyć, ale widzę, że podał Pan (przez przypadek ? ) taką głębokość \(\displaystyle{ n}\), że wynika ona ze wzoru:

\(\displaystyle{ n_k=\frac{a \cdot b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{1 \cdot 2}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \ \text{m} \approx 0,90 \ \text{m}}\)

Zatem żeby obliczyć maksymalną/krytyczną szerokość \(\displaystyle{ m_k}\) mogę skorzystać ze wzoru:

\(\displaystyle{ m_{k}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5} \ \text{m} \approx 2,24 \ \text{m}}\)

Mogę tak uczynić, ponieważ rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} n_k=\frac{a \cdot b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \\ m_{k}=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\ \alpha_{k}= \arcsin \frac{a}{m_{k}} \end{cases}}\)

spełnia układ równań (co łatwo sprawdzić):

\(\displaystyle{ \begin{cases} b=n_k \cdot \sin \alpha_k+m_k \cdot \cos^3 \alpha_k \\ a=n_k \cdot \cos \alpha_k+m_k \cdot \sin^3 \alpha_k \end{cases}}\)

Na zakręcie o wymiarach \(\displaystyle{ a, b}\), szafa o wymiarach \(\displaystyle{ n_k=\frac{a \cdot b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \ m_{k}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) zatacza "obszar korytarza" ograniczony obwiednią, taką, że jedynym punktem wspólnym tej obwiedni i ścian korytarza jest "wewnętrzny wierzchołek korytarza", czyli róg (przepraszam, ale słownictwa z budownictwa nie opanowałem ).

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6399
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Re: optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: kruszewski » 10 lip 2019, o 15:12

Dziękuję.

ODPOWIEDZ