optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1870
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 505 razy

optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: mdd » 28 cze 2019, o 17:50

Rysunek pokazany na podanej stronie pokazuje ważne dwie linie proste w analizie tego problemu:
- prostą "line 1" zawierającą jeden z boków szafy (tak jak to pokazuje mój pierwszy rysunek w tym temacie);

- prostą "line 2" zawierającą oba wierzchołki korytarza.

Równania tych prostych:

"line 1": \(\displaystyle{ y \cos \alpha+ x \sin \alpha=s+L \sin \alpha \cos \alpha}\)

"line 2": \(\displaystyle{ y=\frac{y_{o}}{x_{o}}x}\)

\(\displaystyle{ x_{o}, y_{o}}\) - współrzędne wewnętrznego wierzchołka zakrętu korytarza.

Równanie prostej "line 1" zapiszmy jako \(\displaystyle{ F\left( x,y, \alpha\right)=0}\)

Zbadajmy położenie punktu przecięcia się obu prostych w zależności od kąta \(\displaystyle{ \alpha}\). Jeśli ten punkt przecięcia się "wyjdzie poza" wewnętrzny wierzchołek zakrętu korytarza, to szafy nie damy rady przetransportować.

No dobra, to teraz Ty pokombinuj trochę. Ja wiem, że jest gorąco, ale spróbuj

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6402
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Re: optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: kruszewski » 28 cze 2019, o 22:41



Rysując kolejne położenia prostokąta można zauważyć, że takim krytycznym jego położeniem jest tu takie, kiedy "krawędź szafy" ślizgająca się po ścianie węższego korytarza pokrywa się z krawędzią płaszczyznjakie tworzą ściany korytarza wewnętrznej i zewnętrznej. Z rysunku zauważamy, że zaznaczony kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) ma miarę taką, że:

\(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{n}{b} = \frac{a}{m}}\)

stąd: \(\displaystyle{ a \cdot b = m \cdot n}\), co można wypowiedzięć tak: jeżeli pole prostokąta przesuwanego przez prostokątne naroże ma miarę nie większą niż pole wspólnej części ramion tworzących to naroże, to prostokąt ten można przesunąć z jednego do drugiego ramienia tego naroża.-- 30 cze 2019, o 00:08 --Tu rysunek objaśniający; nie wymagający chyba objaśnień.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1870
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 505 razy

optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: mdd » 30 cze 2019, o 14:59

kruszewski pisze:Z rysunku zauważamy, że zaznaczony kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) ma miarę taką, że:

\(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{n}{b} = \frac{a}{m}}\)

stąd: \(\displaystyle{ a \cdot b = m \cdot n}\)
Chyba nie wszystko rozumiem, ale patrząc na uzyskany wzór widzę poważny problem w sytuacji, kiedy z szafy robi się powiedzmy... płyta, tzn. kiedy szerokość szafy jest dużo dużo mniejsza niż jej długość. Wtedy wyciągam wniosek ze wzoru, że w zasadzie płytę o dowolnej długości można przetransportować. Czy mój wniosek jest nieprawidłowy? Przecież w wersji klasycznej zadania, tj. bez uwzględniania szerokości szafy mamy ograniczenie na długość szafy, którą można przecisnąć przez zakręt.

Wracając jeszcze do poprzednich analiz, zrobię krótkie podsumowanie. Do problemu można podejść na dwa standardowe sposoby:

1) Dopasowujemy wymiary optymalnego skrzyżowania/zakrętu korytarza (o wymiarach \(\displaystyle{ a, b}\)) do krzywej będącej "prawie Asteroidą" o parametrach \(\displaystyle{ m,n}\), reprezentującej zadaną szafę o wymiarach \(\displaystyle{ m, n}\). Krzywa ta jest obwiednią rodziny prostych \(\displaystyle{ F(x,y,\alpha)=0}\) zawierających jeden z boków szafy (ten "bliższy" wewnętrznemu wierzchołkowi zakrętu korytarza). W analizie można pominąć obwiednię, a jedynie wykorzystać pomysł opisany w poprzednim moim poście, prowadzący i tak do warunku \(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial \alpha}=0}\).

2) Można podejść do problemu w klasyczny sposób (tak jak to przypomniał Kolega janusz47), tzn. "przeszukać" zbiór wszystkich szaf wpisanych w zakręt o zadanych wymiarach w celu znalezienia tej najmniejszej szafy, zapewniającej możliwość przetransportowania szafy przez zakręt korytarza, a więc w przypadku szafy o niezerowej szerokości:

\(\displaystyle{ m=\frac{a}{\sin \alpha}+\frac{b}{\cos \alpha}-n \cdot \left( \tg \alpha + \ctg \alpha \right)}\)

co prowadzi do równania:

\(\displaystyle{ a \cos \alpha+ b \sin \alpha=n+m \sin \alpha \cos \alpha}\)

co można w skrócie zapisać \(\displaystyle{ F(m,n,\alpha)=0}\), stąd warunek na ekstremum funkcji uwikłanej (taki sam jak w punkcie pierwszym): \(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial \alpha}=0}\)

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6402
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Re: optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: kruszewski » 30 cze 2019, o 16:02

Proszę popatrzeć na problem od strony kinematycznej ruchu płaskiego.
Jeżeli korytarz jest zadany rozmiarami, a szafa dowolna, to 'nieprzechodząca' w drugi ciąg korytarza oprze się krawędziami o zewnętrzne ściany korytarza i przeciwległym bokiem o krawędź naroża.
Z kinematyki wiadomo, że każdy ruch jest chwilowym ruchem obrotowym względem chwilowej osi obrou (chwilowego środka obrotu). Żeby szfa mogła poruszać się w korytarzu, jej krawędzie w tym położeniu muszą mieć prędkości o wektorach przynależnych do płaszczyzn ścian, zatem równoległe do nich. Z tw. o chwilowym środku obrotu wnioskujemy tu, że krawędzie szafy muszą przynależeć do krawędzi wyznaczonych przez płaszczyzny wewnętrznych ścian korytarza bo ich wspólna krawędź jest tu chwilową osią obrotu bryły szafy. Z tych warunków wynikają geometryczne wymi-ary szerokości i długości szafy.
A stąd i ten kąt nachylenia i ta równość miar oraz pola w narożu korytarza.
(vide 441782.htm#p5583910)

Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1870
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 505 razy

optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: mdd » 1 lip 2019, o 00:04

kruszewski pisze:Z rysunku zauważamy, że zaznaczony kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) ma miarę taką, że:

\(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{n}{b} = \frac{a}{m}}\)

stąd: \(\displaystyle{ a \cdot b = m \cdot n}\), co można wypowiedzięć tak: jeżeli pole prostokąta przesuwanego przez prostokątne naroże ma miarę nie większą niż pole wspólnej części ramion tworzących to naroże, to prostokąt ten można przesunąć z jednego do drugiego ramienia tego naroża.
Kiedy ja łatwo mogę podać kontrprzykład. Proszę bardzo: \(\displaystyle{ a=b=1, m=4, n=\frac{1}{4}}\). Jak najbardziej równość \(\displaystyle{ a \cdot b = m \cdot n}\) jest spełniona. Dodatkowo zakładam, że korytarz przebiega w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, wzdłuż jego osi. Ograniczam go prostymi o równaniach: \(\displaystyle{ x=0; \ y=0; \ x=1, \ y=1}\). Jeden z wierzchołków szafy umieszczam w punkcie \(\displaystyle{ \left( 0; 3\right)}\), a drugi w punkcie \(\displaystyle{ \left( \sqrt{7}; 0 \right)}\). Pozostałymi wierzchołkami się nie zajmuję.

Poprowadźmy prostą przez te dwa punkty. Można policzyć, że przecina ona prostą o równaniu: \(\displaystyle{ x=1}\) w punkcie \(\displaystyle{ \left( 1; \ 1,866...\right)}\), zatem powyżej punktu \(\displaystyle{ \left( 1;1\right)}\), a więc przenika ścianę korytarza.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6402
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Re: optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: kruszewski » 1 lip 2019, o 18:50

Równość ta jest jednym, ale nie jedynym, warunkiem przepchnięcia szafy przez "naroże" korytarza.
Mam wrażenie, że pytanie powinno byś postawione inaczej.
Czy szafa (prostopadłościan) o wymiarach w planie \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) można przesunąć z jednego ciągu korytarza w drugi ciąg, jeżeli są one prostopadłe i mają szerokości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).



Myślę, że ten rysunek uzasadnia przyjęcie położenia planu prostopadłościanu (prostokąta) zaznaczonego kolorem czerwonym jako krytyczne do określenia jego boków \(\displaystyle{ n \ i \ m}\). Kolorowe punkty przynależą do aksoidy stałej, są położeniami kolejnych chwilowych osi obrotu prostokąta ślizgającego się krawędziami po (zewnętrznych) ścianach korytarza.
Proszę zauważyć, że jeżeli chwilowa oś obrotu znajduję się poza prostopadłościanem, to w kolejnych położeniach jego ściana od strony krawędzi wewnętrznej naroża zbliża się do tej krawędzi. Jeżeli znajduję się wewnątrz niego to ściana ta odsuwa się od od tej krawędzi umożliwiając dalszy ruch bryły.

Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1870
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 505 razy

optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: mdd » 5 lip 2019, o 18:37

kruszewski pisze:Mam wrażenie, że pytanie powinno byś postawione inaczej.
Czy szafa (prostopadłościan) o wymiarach w planie \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) można przesunąć z jednego ciągu korytarza w drugi ciąg, jeżeli są one prostopadłe i mają szerokości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).
No, to nic specjalnie trudnego. Przy tak postawionym pytaniu nie ma zabawy.
kruszewski pisze:Równość ta jest jednym, ale nie jedynym, warunkiem przepchnięcia szafy przez "naroże" korytarza.
Ok, tylko nie wiem dlaczego Pan nie zauważył swojego drugiego "uzupełniającego" warunku?... a jeśli Pan zauważył, to dlaczego Pan go nie napisał tutaj? Wynika on wprost z poniższego Pana rysunku:
kruszewski pisze:
Myślę, że ten rysunek uzasadnia przyjęcie położenia planu prostopadłościanu (prostokąta) zaznaczonego kolorem czerwonym jako krytyczne do określenia jego boków \(\displaystyle{ n \ i \ m}\). Kolorowe punkty przynależą do aksoidy stałej, są położeniami kolejnych chwilowych osi obrotu prostokąta ślizgającego się krawędziami po (zewnętrznych) ścianach korytarza.
Proszę zauważyć, że jeżeli chwilowa oś obrotu znajduję się poza prostopadłościanem, to w kolejnych położeniach jego ściana od strony krawędzi wewnętrznej naroża zbliża się do tej krawędzi. Jeżeli znajduję się wewnątrz niego to ściana ta odsuwa się od od tej krawędzi umożliwiając dalszy ruch bryły.
Diabelnie ciekawe to spostrzeżenie odnośnie zachowania się chwilowego środka obrotu. Widać, że chwilowe środki obrotów szafy są położone na okręgu o promieniu równym \(\displaystyle{ m}\). Zatem mamy dwa równania na krytyczne wymiary \(\displaystyle{ m_k, n_k}\) szafy:

\(\displaystyle{ \begin{cases}a \cdot b=m_k \cdot n_k\\ {m_{k}}^{2}=a^{2}+b^{2}\end{cases} \implies\begin{cases} n_k=\frac{a \cdot b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \\ m_{k}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\end{cases}}\)

A teraz ciekawostka:
kruszewski pisze:Mam wrażenie, że pytanie powinno byś postawione inaczej.
Pana rozwiązanie jest na \(\displaystyle{ 99,9 \%}\) odpowiedzią... ale nie na pytanie postawione przez Autora tematu. Jest ono odpowiedzią na pytanie o maksymalne "pole powierzchni" \(\displaystyle{ S=m \cdot n}\) szafy, którą można przetransportować przez zakręt korytarza. Spróbujmy to potwierdzić.

Wystarczy pobawić się wzorkami, które przytoczyłem, tj. związkiem między wymiarami \(\displaystyle{ m,n}\) szafy wpisanymi w zakręt korytarza:

\(\displaystyle{ a \cos \alpha+ b \sin \alpha=n+m \sin \alpha \cos \alpha \implies S=m \cdot n=m\left( a \cos \alpha+ b \sin \alpha-m \sin \alpha \cos \alpha \right)}\)

No i dalej:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial S(m,\alpha)}{ \partial m}=a \cos \alpha+ b \sin \alpha -2m \sin \alpha \cos \alpha=0 \\ \frac{ \partial S(m,\alpha)}{ \partial \alpha}=m\left( b \cos \alpha - a \sin \alpha\right)-m^{2}\cos 2\alpha=0}\)

...skąd wyznaczamy krytyczne \(\displaystyle{ m_{k}, \alpha_{k}}\).

Mój nos mi mówi, że układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a \cos \alpha_{k}+ b \sin \alpha_{k} -2m_{k} \sin \alpha_{k} \cos \alpha_{k}=0 \\ m_{k}\left( b \cos \alpha_{k} - a \sin \alpha_{k}\right)-{m_{k}}^{2}\cos 2\alpha_{k}=0 \\ a \cos \alpha_{k}+ b \sin \alpha_{k}=n_{k}+m_{k} \sin \alpha_{k} \cos \alpha_{k} \end{cases}}\)

ma rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} n_k=\frac{a \cdot b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \\ m_{k}=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\ \alpha_{k}= \arcsin \frac{a}{m_{k}} \end{cases}}\)

Kiedyś sobie to sprawdzę -- 5 lip 2019, o 22:16 --Sprawdzone! Nie \(\displaystyle{ 99,9 \%}\), a \(\displaystyle{ 100 \%}\) pewności.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6402
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Re: optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: kruszewski » 6 lip 2019, o 11:39

28 cze 2019, o 22:41 napisałem w:
\(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{n}{b} = \frac{a}{m}}\)

Pan pisze:
\(\displaystyle{ \\ \alpha_{k}= \arcsin \frac{a}{m_{k}} \end{cases}}\)

Zapytam czy przy tych samych oznaczeniach jakie są na rysynku jaki dałem w przywoływanym przeze mnie liście?

Pyta Pan o powody (powód) dla których napisałemm tak jak napisałem, zatem odpowiem, że moją intencją były podpowiedzi a nie rozwiązanie. Rozwiązanie pozostawiałem Pytającemu a sposób, metodę, Pytającemu i obu Panom.
Zagadnienie jest z kinematyki bryły sztywnej w ruchu płaskim (twierdzenia o takim ruchu i wnioski można znaleźć np. S. Banach, Mechanika, str. 315 i kilka dalszych. (jest w sieci)
Nie widzę potrzeby posłużenia się pochodnymi cząstkowymi do rozwiązania zadania. Chyba że postawiono taki jego warunek.-- 6 lip 2019, o 11:58 --Zapytam jeszcze o powód przyjęcia takiego położenia odcinka \(\displaystyle{ m_{k}}\) jako położenia krytycznego?

Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1870
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 505 razy

optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: mdd » 6 lip 2019, o 22:47

kruszewski pisze:28 cze 2019, o 22:41 napisałem w:
\(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{n}{b} = \frac{a}{m}}\)

Pan pisze:
\(\displaystyle{ \\ \alpha_{k}= \arcsin \frac{a}{m_{k}} \end{cases}}\)

Zapytam czy przy tych samych oznaczeniach jakie są na rysynku jaki dałem w przywoływanym przeze mnie liście?
Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest oznaczony jak na wcześniejszych moich rysunkach w tym temacie. Powtórzę jeszcze raz dla jasności:

Zatem kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest dopełnieniem kąta \(\displaystyle{ \varphi}\) do \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\).
kruszewski pisze:Zapytam jeszcze o powód przyjęcia takiego położenia odcinka \(\displaystyle{ m_{k}}\) jako położenia krytycznego?
To jest wniosek wynikający z warunku \(\displaystyle{ S(m,n,\alpha)=S_{\text{min}}}\) (poszukujemy prostokąta o minimalnym polu powierzchni, wśród tych wpisanych w zakręt korytarza o wymiarach \(\displaystyle{ a,b}\), a więc poszukujemy "maksymalnego" prostokąta, który jeszcze da się przetransportować przez zakręt korytarza; przypomnę też: oczywiście Autor tego tematu problemu w takiej postaci nie sformułował, a jedynie jest to sformułowanie podobnego problemu, którego rozwiązanie pokrywa się z Pana wynikiem: \(\displaystyle{ m_k \cdot n_k= a \cdot b, \quad m_{k}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) itd.).

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6402
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Re: optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: kruszewski » 6 lip 2019, o 23:45

Położeniem krytycznym, położeniem w którym translacja prostokąta jest niemożliwa, zaś zmiana położenia prostokąta jest możliwa przez obrót względem chwilowego jego środka obrotu a tym środkiem jest wierzchołek naroża wewnętrznego mający w tej chwili ruchu atrybuty podpory obrotowej. Stąd wyprowadziłem wniosek, że odpowiednie wierzchołki prostokąta muszą znajdować się w punktach w których wystawione prostopadłe do możliwych w tej chwili ruchu wektorów ich prędkości przecinają się w wierzchołku (ostrzu) tej podpory. I tylko to jest powodem przyjęcia tego położenie i tego chwilowego środka obrotu w tym "krytycznym" położeniu.-- 7 lip 2019, o 00:11 --Myślę, że ten rysunek objaśnia powód dla którego położenie prostokąta jest tym, z którego zmiana położenia jest możliwa przez obrót na podporze stałej obrotowej.


Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1870
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 505 razy

optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: mdd » 7 lip 2019, o 02:19

Pan to ładnie opisuje posługując się nie tak prostymi terminami jak: translacja, obrót, chwilowy środek obrotu, a ja to wolę pominąć i pobawić się równaniem:

\(\displaystyle{ a \cos \alpha+ b \sin \alpha=n+m \sin \alpha \cos \alpha}\)

opisującym wszystkie prostokąty wpisane w zakręt, a prostokąt krytyczny wyznaczyć przez znajdywanie ekstremów pewnych funkcji uwikłanych w to równanie (ew. funkcji utworzonych na bazie tego równania), a to czy dany prostokąt będziemy w stanie przetransportować (poprzez translację/obrót) zależy od relacji między aktualnymi wymiarami prostokąta, a wymiarami krytycznymi.

Pana rozumowanie posługuje się trochę bardziej skomplikowanymi pojęciami, za to rachunki są o wiele prostsze, natomiast to postępowanie prezentowane przeze mnie nie wymaga takich "wygibasów", za to prowadzi do niezbyt łatwego układu nieliniowych równań algebraicznych. Coś za coś.

Ale niestety takie podejście nie zadowoli naszego Autora tematu, bo nie daje odpowiedzi na jego pytanie o algorytm... opisany w telegraficznym skrócie...:
wrzucam liczby \(\displaystyle{ a,b,n}\) albo \(\displaystyle{ a,b,m}\), a dostaję liczbę: \(\displaystyle{ m}\) albo \(\displaystyle{ n}\).

Tymczasem, to nad czym aktualnie się pastwimy wykonuje coś takiego: wrzucam liczby \(\displaystyle{ a,b}\), a dostaję liczby: \(\displaystyle{ m,n}\).

... ale i tak to jest bardzo ciekawe, bo pokazało fajnie jak można nieznacznie zmodyfikować problem, żeby rozwiązanie miało ładny wynik w postaci wzorków, które można kciukiem przykryć.

Można się zastanowić, jak zmodyfikować Pana wywód, żeby odpowiadał dokładnie na pytanie Autora tematu. "Po mojemu" to jest proste, bo należy wyznaczyć ekstrema funkcji \(\displaystyle{ m(\alpha)}\) albo \(\displaystyle{ n(\alpha)}\) uwikłanych w równanie powyżej przedstawione, w wyniku czego otrzymujemy układ dwóch nieliniowych równań algebraicznych (odpowiadających \(\displaystyle{ F(m,n,\alpha)=0, \quad \frac{ \partial F}{ \partial \alpha}=0}\)):

\(\displaystyle{ \begin{cases} b=n \cdot \sin \alpha_k+m_k \cdot \cos^3 \alpha_k \\ a=n \cdot \cos \alpha_k+m_k \cdot \sin^3 \alpha_k \end{cases}}\)
albo
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=n_k \cdot \sin \alpha_k+m \cdot \cos^3 \alpha_k \\ a=n_k \cdot \cos \alpha_k+m \cdot \sin^3 \alpha_k \end{cases}}\)

który może nie wygląda groźnie, ale chyba(!) jednak numerycznie trzeba rozwiązywać

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6402
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Re: optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: kruszewski » 7 lip 2019, o 03:17

Proszę tylko uzasadnić słuszność tego wzoru nie używając tych pojęć.
\(\displaystyle{ a \cos \alpha+ b \sin \alpha=n+m \sin \alpha \cos \alpha}\)
Proszę pamiętać o tym, że opisujemy ruch bryły poprzez ruch jej rzutu. Jest to zagadnienie kinematyczne a nie statyczne. Pojęcia, jakich używam tu, są z podręcznikach mechaniki dla śrenich szkół technicznych
Zauważmy, że
długość szafy nie może być większa niż przekątna korytarza w narożu i iloczyn długości(szerokości) szafy przez jej głębokość nie może być większa niż pole naroża korytarza a jej głębokość nie większa od szerokości węższej części korytarza.
Stąd algorytm wg potrzeb.
A to już te wzory które Pan napisał. Tyle, że znajomość kątów nie jest potrzedna do określenia "rozmiarów" szafy w planie, natomiast miary liniowe już tak.
Przy moich oznasczeniach będzie to tak
\(\displaystyle{ m \cdot n \le a \cdot b}\)
\(\displaystyle{ n \le b}\)


Problem drabiny jest równie łatwy.
Ciekawe jest i to, że Pytający nie zabierał głosu na ten temat od kilku dni.

-- 7 lip 2019, o 09:37 --

Pytanie postawione w pierwszym liście:
"Mamy podać największą długość nieznanego wymiaru szafy, żeby ta szafa jeszcze zmieściła się na zakręcie żeby ją przetransportować poza ten zakręt do dalszej części korytarza.
Zatem pytanie jest o szerokość szafy \(\displaystyle{ m}\) jeżeli znane są wymiary \(\displaystyle{ a \ i \ b}\) korytarza i głębokość szafy \(\displaystyle{ n}\) .
Ten układ dwu nierówności:

\(\displaystyle{ m \cdot n \le a \cdot b}\)
\(\displaystyle{ n \le b}\)

jest wystarczający dla udzielenia odpowiedzi na to pytanie.-- 7 lip 2019, o 10:17 --Kiedy głębokość \(\displaystyle{ n}\) szafy maleje tak, że prostokąt staje się odcinkiem, problem szafy zmierza do "problemu drabiny" a wtedy nierówność:

\(\displaystyle{ m \le 2 \sqrt{{a^2 + b^2}}\)

jest wystarczająca dla tego problemu. Niżej rozwiązanie geometryczne tego problemu kinematycznego.


Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1870
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 505 razy

optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: mdd » 8 lip 2019, o 10:19

kruszewski pisze:Proszę tylko uzasadnić słuszność tego wzoru nie używając tych pojęć.
\(\displaystyle{ a \cos \alpha+ b \sin \alpha=n+m \sin \alpha \cos \alpha}\)
Proszę uprzejmie:

kruszewski pisze:Proszę pamiętać o tym, że opisujemy ruch bryły poprzez ruch jej rzutu. Jest to zagadnienie kinematyczne a nie statyczne. Pojęcia, jakich używam tu, są z podręcznikach mechaniki dla śrenich szkół technicznych
Nie trzeba czytać podręczników z mechaniki, żeby rozwiązać takie zadanie.
kruszewski pisze:Ciekawe jest i to, że Pytający nie zabierał głosu na ten temat od kilku dni.
Pytający chyba nie wie co to dobra zabawa . Sądzę, że i tak pyta ze zwykłej ciekawości po prostu.
kruszewski pisze:Pytanie postawione w pierwszym liście:
"Mamy podać największą długość nieznanego wymiaru szafy, żeby ta szafa jeszcze zmieściła się na zakręcie żeby ją przetransportować poza ten zakręt do dalszej części korytarza.
Zatem pytanie jest o szerokość szafy \(\displaystyle{ m}\) jeżeli znane są wymiary \(\displaystyle{ a \ i \ b}\) korytarza i głębokość szafy \(\displaystyle{ n}\) .
Ten układ dwu nierówności:

\(\displaystyle{ m \cdot n \le a \cdot b}\)
\(\displaystyle{ n \le b}\)

jest wystarczający dla udzielenia odpowiedzi na to pytanie.
Jeden kontrprzykład już wymyśliłem wcześniej - tutaj również mogę go zastosować, bo \(\displaystyle{ \frac{1}{4}<1}\). Dla przypomnienia:
mdd pisze:Kiedy ja łatwo mogę podać kontrprzykład. Proszę bardzo: \(\displaystyle{ a=b=1, m=4, n=\frac{1}{4}}\). Jak najbardziej nierówność \(\displaystyle{ a \cdot b \ge m \cdot n}\) jest spełniona. Dodatkowo zakładam, że korytarz przebiega w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, wzdłuż jego osi. Ograniczam go prostymi o równaniach: \(\displaystyle{ x=0; \ y=0; \ x=1, \ y=1}\). Jeden z wierzchołków szafy umieszczam w punkcie \(\displaystyle{ \left( 0; 3\right)}\), a drugi w punkcie \(\displaystyle{ \left( \sqrt{7}; 0 \right)}\). Pozostałymi wierzchołkami się nie zajmuję.

Poprowadźmy prostą przez te dwa punkty. Można policzyć, że przecina ona prostą o równaniu: \(\displaystyle{ x=1}\) w punkcie \(\displaystyle{ \left( 1; \ 1,866...\right)}\), zatem powyżej punktu \(\displaystyle{ \left( 1;1\right)}\), a więc przenika ścianę korytarza.
kruszewski pisze:Kiedy głębokość \(\displaystyle{ n}\) szafy maleje tak, że prostokąt staje się odcinkiem, problem szafy zmierza do "problemu drabiny" a wtedy nierówność:

\(\displaystyle{ m \le 2 \sqrt{{a^2 + b^2}}\)

jest wystarczająca dla tego problemu.
Widzę, że nie ufa Pan powszechnie znanemu rozwiązaniu \(\displaystyle{ l_{max} = \left(a^{\frac{2}{3}}+ b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}}\) które janusz47 przypomniał. Zatem kontrprzykład:

\(\displaystyle{ a=3, b=1}\). Zakładam, że korytarz przebiega w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, wzdłuż jego osi. Ograniczam go prostymi o równaniach: \(\displaystyle{ x=0; \ y=0; \ x=b=1, \ y=a=3}\). Jeden z końców drabiny umieszczam w punkcie \(\displaystyle{ \left( 0; 5\right)}\), a drugi w punkcie \(\displaystyle{ \left( \sqrt{15}; 0 \right)}\).

Poprowadźmy prostą przez te dwa punkty. Równanie tej prostej: \(\displaystyle{ y=-\frac{5}{\sqrt{15}}x+5}\)
Można policzyć, że przecina ona prostą o równaniu: \(\displaystyle{ x=1}\) w punkcie \(\displaystyle{ \left( 1; \ 3,71...\right)}\), zatem powyżej punktu \(\displaystyle{ \left( 1;3\right)}\), a więc koliduje ze ścianą korytarza, a długość drabiny \(\displaystyle{ m=\sqrt{5^2+{\sqrt{15}}^{2}}=2\sqrt{10}=2 \sqrt{{a^2 + b^2}}\)

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6402
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Re: optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: kruszewski » 8 lip 2019, o 12:58

Tym razem ja muszę przemyśleć czy ta drabina rzeczywiśącie nie musi być krótsza.
Rzeczywiście, przemyślałem i zgadzam się z Panów wywodami. Chylę czoła i dziękuję Panu mdd za cierpliwość .
W.Kr.-- 8 lip 2019, o 14:00 --Podany przez pana janusz47 rzeczywiście pozwala na obliczenie minimalnej długości odcinka o końcach "na ścianach" korytarza i opierającego się na na narożu. Ale skąd pewność, że można go przesunć dalej? Ta wymaga dowodu. Dowodu natury kinematycznej.

Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1870
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 505 razy

optymalizacja - problem szafy na zakręcie

Post autor: mdd » 9 lip 2019, o 15:21

kruszewski pisze:Podany przez pana janusz47 rzeczywiście pozwala na obliczenie minimalnej długości odcinka o końcach "na ścianach" korytarza i opierającego się na na narożu. Ale skąd pewność, że można go przesunć dalej? Ta wymaga dowodu. Dowodu natury kinematycznej.
Wystarczy zauważyć, że ta krytyczna szafa/drabina ma najmniejszy możliwy rozmiar wśród tych wpisanych w zakręt, a więc może zająć dowolne inne położenie i jeszcze do wewnętrznego wierzchołka zakrętu będzie "daleko". Przesuwamy dwa wierzchołki prostokąta (końce odcinka w przypadku drabiny) wzdłuż osi i zależy nam na tym tylko żeby nie "grzmotnąć" w róg. Jeśli w róg nie uderzymy, to i ściany ocaleją.

Można podejść do tego tak (jak to zrobiłem wcześniej już chyba 3 lata temu w innym wątku dotyczącym autobusu na zakręcie, a w tym wątku to powtórzyłem),:

440666.htm#p5579596 - czy przekonuje to Pana?

A wzór janusza47 wynika z równania obwiedni po prostu.

ODPOWIEDZ