Ekstremum lokalne przy warunku

[Kacpi]

Wyznacz ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f(x,y) = xy}\) przy warunku \(\displaystyle{ x^2+y^2=8}\)

Mam problem z tym zadankiem głównie przy układzie równań w wyznaczeniu z niego punktów po prostu nie wiem jak się za to zabrać

Z tego co dotychczas zrobiłem to:
\(\displaystyle{ F(x,y,L) = f(x,y)+L \cdot g(x,y) \\
g(x,y) = x^2+y^2-8 \\
F(x,y,L) = xy + L(x^2+y^2-8)=xy+Lx^2+Ly^2-8L \\
F'x(x,y,L) = y+2Lx \\
F'y(x,y,L) = x + 2Ly \\
g'x = 2x \\
g'y = 2y}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y+2Lx=0\\x+2Ly=0\\x^2+y^2-8=0 \end{cases}}\)

[Premislav]

Tutaj układów równań nie potrzeba:
zachodzi nierówność \(\displaystyle{ xy\le \frac{x^2+y^2}{2}=4}\) (zwija się ona do \(\displaystyle{ (x-y)^2\ge 0}\)) z równością np. dla \(\displaystyle{ x=y=2}\). Podobnie zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ xy\ge - \frac{x^2+y^2}{2} =-4}\) (która zwija się do \(\displaystyle{ (x+y)^2\ge 0}\)) z równością np. dla \(\displaystyle{ x=-y=2}\).-- 25 kwi 2019, o 22:34 --A jak to chcesz robić bardziej typowo, czy też siłowo, to w układzie równań
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} y+2Lx=0\\x+2Ly=0\\x^2+y^2-8=0 \end{array}}\)
odejmujesz stronami drugie równanie od pierwszego, dostajesz
\(\displaystyle{ (y-x)(1-2L)=0}\), stąd \(\displaystyle{ x=y \vee L=\frac 1 2}\). Pierwszy przypadek prowadzi do \(\displaystyle{ x=y}\), drugi do \(\displaystyle{ x=y=0}\), czyli \(\displaystyle{ x=-y}\).

[a4karo]

Taż tu i liczyć nie ma co. Poziomice funkcji \(\displaystyle{ f}\), czyli zbiory \(\displaystyle{ F_a=\{(x,y)| xy=a\}}\) przy \(\displaystyle{ a>0}\) to hiperbole symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\), przy czym im większe \(\displaystyle{ a}\), tym bardziej hiperbola jest oddalona od początku układu. Wniosek stąd jest taki, że największą wartość realizuje "ostatnia" hiperbola, która ma jeszcze cokolwiek wspólnego z okręgiem - jest nią (ze względu na symetrię) hiperbola styczna do tego okręgu w punktach \(\displaystyle{ (\pm 2,\pm 2)}\), zatem \(\displaystyle{ \max F=4}\)

Dla \(\displaystyle{ a<0}\) z takiego samego rozumowania wychodzą hiperbole styczne w \(\displaystyle{ (\pm 2,\mp 2)}\), czyli \(\displaystyle{ \min F=-4}\)

Warto zauważyć, że styczność tych krzywych (lub innymi słowy równoległość ich wektorów normalnych) to dokładnie warunek Lagrange'a)

-- 26 kwi 2019, o 02:17 --