Matematyka.pl

Hejka, mam takie zadanie:
Pokazać, że dla dodatnich liczb \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2} ... a_{n}}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n} a _{k} } \le \ln \left(1+ \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n}\left( e ^{ a_{k} }-1 \right) } \right)}\)

I starałem się przerzucić wszystko na prawo, policzyć co się dzieje gdy wszystkie niewiadome to 0 a potem ekstremum funkcji wielu zmiennych ale coś mi nie wychodzi i nwm czy to w ogóle dobry sposób

Tak to raczej nie pójdzie. Mam inną propozycję:
\(\displaystyle{ \textbf{Lemat}}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\ln\left( e^{e^x}-1\right)}\) jest wypukła w \(\displaystyle{ \RR}\). Dowód lematu (wyliczenie drugiej pochodnej i uzasadnienie, że jest ona dodatnia, to ostatnie można zrobić ze znanej nierówności \(\displaystyle{ e^t\ge 1+t}\) z równością tylko dla \(\displaystyle{ t=0}\)) pozostawiam w charakterze ćwiczenia dla Ciebie.

Przejdźmy do rozwiązania zadania. Na mocy nierówności Jensena dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\ln\left( e^{e^x}-1\right)}\), równych wag i argumentów \(\displaystyle{ \ln a_1, \ldots \ln a_n}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\ln\left( e^{e^{\ln a_k}}-1\right) \ge \ln\left(e^{e^{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln a_k}}-1\right)}\)
czyli innymi słowy, po prostych przekształceniach (własności logarytmów):
\(\displaystyle{ \ln\left( \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n}\left( e^{a_k}-1\right) } \right) \ge \ln\left(e^{ \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n} a_k} } -1\right)}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f(t)=e^t}\) jest rosnąca, więc logarytmów się pozbywamy i równoważnie mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n}\left( e^{a_k}-1\right) } \ge e^{ \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n} a_k} } -1}\)
Jedynkę przenosimy na lewo, logarytmujemy stronami i dostajemy:
\(\displaystyle{ \ln\left( 1+ \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n}\left( e^{a_k}-1\right) } \right) \ge \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n}a_k }}\)
co kończy dowód.