Udowodnij nierówność korzystając z twierdzenia Lagrange'a

[lilith123]

Witam,
Proszę o pomoc z rozwiązaniem następującego zadania:

Udowodnić nierówność :
\(\displaystyle{ \frac{1}{13} < \arctan 5 - \arctan 3 < \frac{1}{5}}\)

Wiem, że trzeba rozwiązać to zadanie korzystając z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej, tzn.


Jeśli dana funkcja \(\displaystyle{ f: \left[ a,b\right] \rightarrow \RR}\) jest \(\displaystyle{ \\}\)

ciągła w przedziale \(\displaystyle{ \left[ a,b\right] \\}\)
różniczkowalna w przedziale \(\displaystyle{ \left( a,b \right) \\}\)

to istnieje taki punkt \(\displaystyle{ c \in \left( a,b\right)}\) że: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \frac{f\left( b\right) - f \left( a\right) }{b-a} = f ^{'}\left( c\right)}\)

[a4karo]

No to zgadnij jaka funkcje możesz postawić za \(\displaystyle{ f}\)

[lilith123]

Dla \(\displaystyle{ \arctan (x)}\)

[a4karo]

No to wstaw i pomyśl o tym co wyszło

[Przybyl]

Podbijam temat dla upewnienia się, czy dobrze to robię.
Dzielę całą nierówność przez \(\displaystyle{ 2}\) i otrzymuję
\(\displaystyle{ \frac{1}{26} < \frac{\arctg5 - \arctg3}{2} < \frac{1}{10} \\
\frac{\arctg5 - \arctg3}{2} = f'(c), c\in(3,5) \\
f'(c) = \frac{1}{c^2+1} \\
\frac{1}{5^2+1} < \frac{1}{c^2+1} < \frac{1}{3^2+1}, c\in(3,5)}\)
Tyle ?

[a4karo]

tak