Witam potrzebuje pomocy w zadaniu :
\(\displaystyle{ (x ^{2} -\sin y ^{2})dx+(x\sin (2y))dy=0}\)
Wiem że nie jest to równanie zupełne .
Czynnik całkujący z tego co liczyłem to wychodzi że ma być zależny od dwóch zmiennych i tu mam problem bo nie moge go obliczyć . Proszę o pomoc
Równanie różniczkowe z czynnikiem całkującym
Równanie różniczkowe z czynnikiem całkującym
Ostatnio zmieniony 30 lis 2018, o 15:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Równanie różniczkowe z czynnikiem całkującym
Aha, no to standard właściwie.
Żeby nie było, że zrobię ten przykład, a dalej nie będziesz wiedzieć, co i jak, korzystamy z metody opisanej np. tutaj: 362662.htm
Mnie wychodzi, że jednak istnieje czynnik całkujący zależny od samej zmiennej \(\displaystyle{ x}\).
Wg oznaczeń z artykułu
\(\displaystyle{ P(x,y)=x^2-(sin y)^2, Q(x,y)=xsin(2y)}\)
i teraz widzimy, że
\(\displaystyle{ frac{1}{Q(x,y)}left( frac{,dd P}{,dd y}-frac{,dd Q}{,dd x}
ight)=frac{1}{xsin(2y)}left( -2sin(y)cos(y)-sin(2y)
ight)=\=-frac{2}{x}}\)
Stąd dobrym czynnikiem całkującym będzie
\(\displaystyle{ frac{1}{x^2}}\) (jak nie wiesz, skąd to się wzięło, to zajrzyj do podlinkowanego wyżej wątku).
\(\displaystyle{ (x ^{2} -sin^2y )dx+(xsin(2y))dy=0igg|cdot frac{1}{x^2}\left( 1-frac{sin^2 y}{x^2}
ight),dd x+ frac{sin(2y)}{x},dd y=0}\)
To już jest w postaci równania zupełnego i łatwo całkujemy do postaci
\(\displaystyle{ x+frac{sin^2 y}{x}=C}\)
Żeby nie było, że zrobię ten przykład, a dalej nie będziesz wiedzieć, co i jak, korzystamy z metody opisanej np. tutaj: 362662.htm
Mnie wychodzi, że jednak istnieje czynnik całkujący zależny od samej zmiennej \(\displaystyle{ x}\).
Wg oznaczeń z artykułu
\(\displaystyle{ P(x,y)=x^2-(sin y)^2, Q(x,y)=xsin(2y)}\)
i teraz widzimy, że
\(\displaystyle{ frac{1}{Q(x,y)}left( frac{,dd P}{,dd y}-frac{,dd Q}{,dd x}
ight)=frac{1}{xsin(2y)}left( -2sin(y)cos(y)-sin(2y)
ight)=\=-frac{2}{x}}\)
Stąd dobrym czynnikiem całkującym będzie
\(\displaystyle{ frac{1}{x^2}}\) (jak nie wiesz, skąd to się wzięło, to zajrzyj do podlinkowanego wyżej wątku).
\(\displaystyle{ (x ^{2} -sin^2y )dx+(xsin(2y))dy=0igg|cdot frac{1}{x^2}\left( 1-frac{sin^2 y}{x^2}
ight),dd x+ frac{sin(2y)}{x},dd y=0}\)
To już jest w postaci równania zupełnego i łatwo całkujemy do postaci
\(\displaystyle{ x+frac{sin^2 y}{x}=C}\)