W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. polu

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
JakubP-Jzero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy

W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. polu

Post autor: JakubP-Jzero » 17 lis 2018, o 19:52

W elipsoidę : \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} =1}\)
wpisać prostopadłościan o możliwie największym polu całkowitym.
Skonstruowałem już funkcję \(\displaystyle{ f \left( x,y,z \right) =8 \left( xz+xy+yz \right)}\). Teraz chciałem rozwiązać to używając mnożników Lagrange'a, tym samym skonstruowałem następującą funkcję: \(\displaystyle{ L \left( x,y,z,\lambda \right) =8 \left( xz+xy+yz \right) +\lambda \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} -1 \right)}\). Teraz stworzyłem następujący układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 8 \left( z+y \right) +\lambda\frac{x}{a^2}=0 \\ 8 \left( x+z \right) +\lambda\frac{y}{b^2}=0 \\ 8 \left( x+y \right) +\lambda\frac{z}{c^2}=0 \\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}-1=0 \end{cases}}\)
Tutaj napotykam problem. Pierwsze trzy równania pomnożyłem w następujący sposób : I równanie przez x, II równanie przez y, III równanie przez z. Następnie dodałem stronami ów równania i otrzymałem : \(\displaystyle{ 8 \left( x \left( z+y \right) +y \left( x+z \right) +z \left( x+y \right) \right) +\lambda \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \right) =0}\). Rzecz jasna \(\displaystyle{ \lambda}\) pomnożone jest przez \(\displaystyle{ 1}\), co wynika z naszego IV równania. Jednak nie mam pojęcia jak ruszyć to dalej. Czy mógłby ktoś pomóc w rozwiązaniu tego układu ?
Ostatnio zmieniony 17 lis 2018, o 20:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5850
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol

Post autor: janusz47 » 17 lis 2018, o 22:11

W funkcji Lagrange'a \(\displaystyle{ \mathcal{L}}\) powinno być \(\displaystyle{ 4}\) zamiast \(\displaystyle{ 8}\) i \(\displaystyle{ -\lambda}\) zamiast \(\displaystyle{ +\lambda.}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}4(z+y)= \frac{2\lambda x}{a^2}\\ 4(x +z)= \frac{2\lambda y}{b^2}\\ 4(z+y) = \frac{2\lambda z}{c^2} \\ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{a^2} = \frac{2(z+y)}{\lambda x}\\ \frac{1}{b^2} = \frac{2(x+z)}{\lambda y}\\ \frac{1}{c^2} = \frac{2(x+y)}{\lambda z} \\ \frac{1}{a^2}x^2+ \frac{1}{b^2}{y^2}+\frac{1}{c^2}z^2=1 \end{cases}}\)

Proszę podstawić pierwsze trzy równania do czwartego i znaleźć wartość parametru \(\displaystyle{ \lambda.}\)
Ostatnio zmieniony 18 lis 2018, o 12:01 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.

JakubP-Jzero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy

Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol

Post autor: JakubP-Jzero » 17 lis 2018, o 23:20

janusz47, Widzę i rozumiem błąd z 4 zamiast 8 ale wtedy nie będzie 2 przy \(\displaystyle{ \lambda\frac{2x}{a^2}}\) itd.Co więcej, w definicji metody mnożników Lagrange'a \(\displaystyle{ \lambda}\) jest z plusem, a licząc pochodne cząstkowe pierwszego rzędu z \(\displaystyle{ \lambda(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1)}\) kolejno po x,y,z nie dostajemy wartości z minusem. Stąd moje pytanie, skąd ten minus ?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5850
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol

Post autor: janusz47 » 18 lis 2018, o 10:16

W definicji mnożników funkcji Lagrange'a \(\displaystyle{ \lambda}\) jest z plusem i minusem.

W tym przypadku postaci funkcji Lagrange'a muszą zachodzić równości:

\(\displaystyle{ \frac{1}{a^{2}}= \frac{2z}{\lambda x}>0}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{b^{2}}= \frac{2x}{\lambda y}>0}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{c^{2}}= \frac{2y}{\lambda z}>0}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18305
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3087 razy

Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol

Post autor: a4karo » 18 lis 2018, o 10:29

Czy ja mógłbym prosić o przybliżenie tajemniczych sformułowań "\(\displaystyle{ \lambda}\) jest z plusem (z minusem)"? W szczególności interesuje mnie, czy \(\displaystyle{ 2=-(-2)}\) jest z plusem, czy z minusem?

JakubP-Jzero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy

W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. polu

Post autor: JakubP-Jzero » 18 lis 2018, o 10:45

Nie rozumiem przejścia z układu, który ja napisałem, na ten : \(\displaystyle{ \begin{cases}4z= \frac{2\lambda x}{a^2}\\ 4x = \frac{2\lambda y}{b^2}\\ 4y = \frac{2\lambda z}{c^2} \\ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \end{cases}}\)

Tak, wiem że wyrażenie lambda z plusem i minusem jest niepoprawne.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5850
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. polu

Post autor: janusz47 » 18 lis 2018, o 11:05

Pochodne cząstkowe funkcji Lagrange'a względem \(\displaystyle{ x, y, z}\) z czwórką.

JakubP-Jzero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy

Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol

Post autor: JakubP-Jzero » 18 lis 2018, o 11:43

janusz47, Dlaczego tak jest ? Przecież: \(\displaystyle{ L'_x= \left( 8 \left( xz+xy+yz \right) \right) ' + \left( \lambda \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} -1 \right) \right) '=8 \left( z+y \right) +\lambda\frac{2x}{a^2}}\) Skąd więc nagle \(\displaystyle{ 4z=\frac{2 \lambda x}{a^2}}\) itd. ? Może po prostu coś mi umyka, ale nie potrafię tego zrozumieć, jakie przekształcenia elementarne tam wykonujemy ?
Ostatnio zmieniony 18 lis 2018, o 19:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5850
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. polu

Post autor: janusz47 » 18 lis 2018, o 12:02

Masz rację zjadłem drugie składniki sum - poprawiłem.

JakubP-Jzero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy

W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. polu

Post autor: JakubP-Jzero » 18 lis 2018, o 12:47

A czy byłbyś tak dobry i wytłumaczył dlaczego możemy zmieniać znak przy lambda ?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5850
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol

Post autor: janusz47 » 18 lis 2018, o 16:23

\(\displaystyle{ \mathcal{L}(x,y,z \lambda) = f(x,y,z) \pm \lambda G(x,y,z)}\)

JakubP-Jzero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy

Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol

Post autor: JakubP-Jzero » 18 lis 2018, o 18:30

Rozwiązując nierówności otrzymałem
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{8y}{\lambda}>0 \\ \frac{8z}{\lambda}>0 \\ \frac{8x}{\lambda}>0 \end{cases}}\) Ponieważ \(\displaystyle{ x,z,y>0}\), co wynika z tego, że długości boków prostopadłościanu są następujące \(\displaystyle{ 2x,2y,2z}\), więc \(\displaystyle{ \lambda>0}\) Nie mam pojęcia co mi to daje. Podstawiłem do warunku jak mi wskazano i otrzymałem \(\displaystyle{ 8(xz+xy+zy)=\lambda}\) z tego wyliczyłem \(\displaystyle{ z=\frac{\lambda + 8xy}{x+y}}\) Jaki kolejny krok ? Do czego to wstawić ? Wydaje mi się, że cokolwiek nie robię to kręcę się w koło

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5850
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. polu

Post autor: janusz47 » 18 lis 2018, o 19:21

\(\displaystyle{ \frac{(2z+y)x}{\lambda} + \frac{2(x+z)y}{\lambda} + \frac{2(x+y)z}{\lambda}= 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{4(xy + xz +yz)}{\lambda} = 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{S}{\lambda} =1,}\)

\(\displaystyle{ \lambda =\frac{1}{4(xy+xz +yz)}= \frac{1}{S}.}\)

JakubP-Jzero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy

Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol

Post autor: JakubP-Jzero » 18 lis 2018, o 19:58

janusz47 Czy nie powinno jako \(\displaystyle{ S}\) być \(\displaystyle{ 8(xy+xz+yz)}\) oraz skoro \(\displaystyle{ \frac{S}{\lambda} =1}\) to \(\displaystyle{ S=\lambda}\) ? I co dalej, oznacza to, że \(\displaystyle{ \lambda}\) jest maksymalnym polem ?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5850
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: W elipsoidę wpisać prostopadłościan o możliwie najw. pol

Post autor: janusz47 » 18 lis 2018, o 20:18

Jak jest wzór na pole prostopadłościanu, którego punkty wierzchołki ścian są symetrycznie rozmieszczone na powierzchni elipsoidy?

Na czym polega metoda mnożników Lagrange'a? Czy ekstremum globalne funkcji jest parametrem \(\displaystyle{ \lambda?}\)

JakubP- Izero

Wstawiamy \(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{S}}\) do funkcji \(\displaystyle{ \mathcal{L}.}\)

Obliczamy wartość \(\displaystyle{ \lambda =...}\)

Wyznaczamy wartości \(\displaystyle{ x^{*}, y^{*}, z^{*}}\).

Sprawdzamy, czy w tych punktach występuje maksimum globalne.

Znajdujemy poszukiwaną maksymalną wartość pola prostopadłościanu \(\displaystyle{ P^{*}.}\)

-- 18 lis 2018, o 21:43 --

JakubP-Jzero

Masz rację, przyjmij współrzędne punktów wierzchołkowych prostopadłościanu \(\displaystyle{ P_{i}( \pm 2x, \pm 2y, \pm 2z), \ \ i=1,2,3,4,5,6,7,8.}\), wtedy jego pole całkowite jest rzeczywiście równe:

\(\displaystyle{ S = 8(xy +xz +yz).}\)

ODPOWIEDZ