Minimum i maksimum funkcji - ekstremum warunkowe.

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
tangerine11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mielec
Podziękował: 14 razy

Minimum i maksimum funkcji - ekstremum warunkowe.

Post autor: tangerine11 » 29 sie 2018, o 23:56

Witam,

Mam problem z zadaniem:

Wyznaczyć \(\displaystyle{ \max f}\), \(\displaystyle{ \min f}\) w obszarze \(\displaystyle{ W}\), jeśli:

\(\displaystyle{ f(x,y)=x^{2}+12xy+y^{2} \\ W: 4x^{2}+y^{2} \le 25}\)

1) Policzyłam ekstremum lokalne we wnętrzu zbioru, a raczej wyznaczyłam punkt stacjonarny \(\displaystyle{ (0,0)}\).

2) Należy rozważyć brzeg zbioru: pytanie jak?
Próbowałam skorzystać z metody "mnożników Lagrange'a", niestety jak ułożyłam układ trzech równań to nie bardzo mi idzie dalsze rozwiązanie.

Bardzo proszę o pomoc i wskazówki!
Ostatnio zmieniony 30 sie 2018, o 23:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14923
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 133 razy
Pomógł: 4940 razy

Minimum i maksimum funkcji - ekstremum warunkowe.

Post autor: Premislav » 30 sie 2018, o 00:52

Można to rozwiązać bez żadnej teorii wykraczającej poza poziom szkoły średniej, a oto jak:
znajdźmy możliwie „ścisłe" oszacowanie z góry \(\displaystyle{ x^2+12xy+y^2}\) przez wyrażenie postaci
\(\displaystyle{ 4ax^2+ay^2}\) działające dla dowolnych \(\displaystyle{ (x,y)\in W}\).
Pomysł jest taki, że po prostu przekształcamy nierówność
\(\displaystyle{ x^2+12xy+y^2\le 4ax^2+ay^2}\)
do postaci
\(\displaystyle{ 0\le (4a-1)x^2-12xy+(a-1)y^2}\)
i żądamy, by po prawej był pewien kwadrat różnicy, tj.
\(\displaystyle{ 12=2\sqrt{(4a-1)(a-1)}\\ 36=(4a-1)(a-1)\\ 4a^2-5a-35=0\\}\)
Dokładnie jedno z rozwiązań tego ostatniego równania (są dwa, ponieważ wyróżnik trójmianu jest dodatni) jest po prawej stronie zera, i jest to \(\displaystyle{ \frac{5+\sqrt{585}}{8}}\).
O ile oczywiście nie rąbnąłem się w rachunkach, co nie jest wykluczone.
Teraz skoro \(\displaystyle{ 4x^2+y^2\le 25}\), to z powyższych rozważań otrzymujemy
\(\displaystyle{ x^2+12xy+y^2\le 25\cdot \left( \frac{5+\sqrt{585}}{8} \right)}\)
Równość jest, gdy jednocześnie \(\displaystyle{ 4x^2+y^2=25}\) oraz
\(\displaystyle{ \sqrt{4a-1}x=\sqrt{a-1}y}\) dla otrzymanego jak wyżej \(\displaystyle{ a}\), zaś układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x^2+y^2=25 \\ \sqrt{\frac 32+\frac{\sqrt{585}}{2}}x=\sqrt{ \frac{\sqrt{585}-3}{8} }y \end{cases}}\)
oczywiście ma rozwiązania (drugie podnosimy stronami do kwadratu, dzielimy stronami przez współczynnik otrzymany przy \(\displaystyle{ y^2}\), wstawiamy do pierwszego itd.).
Stąd największa wartość \(\displaystyle{ f}\) na \(\displaystyle{ W}\) wynosi
\(\displaystyle{ 25\cdot \left( \frac{5+\sqrt{585}}{8} \right)}\).

Analogicznie można znaleźć najmniejszą wartość, tylko szukamy takiego (ujemnego) \(\displaystyle{ b\in \RR}\), by nierówność
\(\displaystyle{ 4bx^2+by^2\le x^2+12xy+y^2}\)
sprowadziła się do nieujemności kwadratu sumy lub różnicy.
\(\displaystyle{ 12=2\sqrt{(1-4b)(1-b)} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 36=(4b-1)(b-1)}\),
a to jest to samo równanie, co wcześniej, tylko teraz wybieramy to ujemne rozwiązanie, równe
\(\displaystyle{ \frac{5-\sqrt{585}}{8}}\)
i dostajemy do rozważenia układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\sqrt{1-\frac{5-\sqrt{585}}{2}}x=\sqrt{1-\frac{5-\sqrt{585}}{8}}y \\ 4x^2+y^2=25\end{cases}}\),
który to też analogicznie jak poprzednio rozwiązujemy.
Ostatecznie
\(\displaystyle{ f_{\min}=25 \cdot \frac{5-\sqrt{585}}{8}\\ f_{\max}=25\cdot \frac{5+\sqrt{585}}{8}}\)
przyjmowane gdzieś tam, gdzieś tam (te układy równań wraz z tym, co wspomniałem o pierwszym układzie – drugi w pełni analogicznie – dają łatwą, choć żmudną ze względu na te pierwiastki metodę dojścia do tego, gdzie jest rzeczone „gdzieś tam, gdzieś tam").

Rzecz jasna metoda, którą wspomniałaś (szukamy ekstremów wewnątrz+mnożniki Lagrange'a na brzegu) jest ogólniejsza, ale trochę mnie już znudziły wynikające z niej rachunki, więc skoro da się zrobić inaczej… Oczywiście to tylko moje preferencje.
Pozdhawiam pielgrzymów z Polski.

-- 30 sie 2018, o 00:23 --

A jak koniecznie chcesz „Twoją" metodą, to pokażę, jak sobie poradzić z brzegiem za pomocą metody mnożników Lagrange'a:
rozważamy funkcjonał Lagrange'a
\(\displaystyle{ \mathcal{L}(x,y, \lambda)=x^2+12xy+y^2+\lambda(4x^2+y^2-25)}\).
Z warunku koniecznego istnienia ekstremum warunkowego dostajemy następujący układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}2x+12y+8\lambda x=0 \\ 2y+12x+2\lambda y=0\\ 4x^2+y^2=25\end{cases}}\)
Teraz zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ x=0}\), to np. pierwsze równanie wymusza \(\displaystyle{ y=0}\), ale wówczas nie jest spełniony warunek \(\displaystyle{ 4x^2+y^2=25}\). Podobnie jeśli \(\displaystyle{ y=0}\), to z drugiego równania mamy \(\displaystyle{ x=0}\) i wówczas \(\displaystyle{ 4x^2+y^2=0\neq 25}\).
Niech teraz \(\displaystyle{ x\neq 0\wedge y\neq 0}\).
Mnożymy wówczas pierwsze równanie układu stronami przez \(\displaystyle{ y}\), drugie przez \(\displaystyle{ 4x}\)
i odejmujemy przekształcone drugie równanie od przekształconego pierwszego równania. To daje nam:
\(\displaystyle{ \begin{cases}12y^2-48x^2-6xy=0\\ 8xy+48x^2+8\lambda xy=0\\ 4x^2+y^2=25\end{cases}}\)
Tak naprawdę po tym przekształceniu środkowe równanie nie ma już znaczenia i można je pominąć.
Teraz skoro \(\displaystyle{ y\neq 0}\), to możemy pierwsze z tych równań podzielić stronami przez \(\displaystyle{ -6y^2}\), co da nam równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ t=\frac x y}\):
\(\displaystyle{ 8t^2+t-2=0}\).
To rozbija nasze wyliczenia \(\displaystyle{ x,y}\) na dwa przypadki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac x y= \text{ mniejszy pierwiastek trójmianu } 8t^2+t-2 \\ 4x^2+y^2=25\end{cases}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac x y= \text{ wiekszy pierwiastek trójmianu } 8t^2+t-2 \\ 4x^2+y^2=25\end{cases}}\)
Znajdź pierwiastki trójmianu kwadratowego \(\displaystyle{ 8t^2+t-2}\) i masz dwa proste układy równań do rozwiązania.

Żeby potem (tj. po rozwiązaniu tych układzików) nie babrać się z hesjanem obrzeżonym, możesz powołać się na twierdzenie Weierstrassa (elipsa jest oczywiście domkniętym i ograniczonym podzbiorem \(\displaystyle{ \RR^2}\), a więc zwartym podzbiorem \(\displaystyle{ \RR^2}\)).

tangerine11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mielec
Podziękował: 14 razy

Minimum i maksimum funkcji - ekstremum warunkowe.

Post autor: tangerine11 » 30 sie 2018, o 21:15

@Premislav dziękuję!!! Twoja pomoc jest nieoceniona

ODPOWIEDZ