Sprawdź czy funkcja ma ekstremum w punkcie

[gutok]

Sprawdź czy funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)=2\sqrt{x} - \frac{1}{2}x^2+y^3-3y}\) ma ekstremum lokalne w punkcie \(\displaystyle{ P(0,1)}\).

Chcę sprawdzić warunek konieczny istnienia ekstremum.

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = \frac{1}{\sqrt{x}} - x}\)

I co teraz? Nie mogę wstawić tam tego punktu, ale to chyba nie jest jednoznaczne z tym, że nie ma w tym punkcie ekstremum?

Chciałem też policzyć pochodną w tym punkcie z definicji, ale nie bardzo mi coś wychodzi.

[Premislav]

Funkcja nie musi być w danym punkcie różniczkowalna, by mieć w nim ekstremum.
Ty jesteś warunek konieczny.

[gutok]

Ty jesteś warunek konieczny.

Nie za bardzo rozumiem, to jak sprawdzić czy funkcja ma w tym punkcie ekstremum?

[Premislav]

Niestety najwyraźniej trzeba z definicji.

Oczywiście z uwagi na dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f}\) musi być \(\displaystyle{ x\ge 0}\), więc istnieje takie \(\displaystyle{ t\ge 0}\), że \(\displaystyle{ x=t^2}\). Wówczas dla \(\displaystyle{ x\ge 0, \ y\in \RR}\) mamy
\(\displaystyle{ f(x,y)-f(0,1)=2t-\frac{1}{2}t^4+y^3-3y+2=\\=\frac 1 2 t\left( 4-t^3\right) +(y-1)(y^2+y -2)=\\=\frac 1 2 t\left( 4-t^3\right) +(y-1)^2(y+2)}\)
a zatem o ile \(\displaystyle{ x \in [0,\sqrt[3]{16}), \ y \in (-2, 1) \cup (1, +\infty)}\) mamy \(\displaystyle{ f(x,y)-f(0,1)> 0}\), w szczególności funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma w punkcie \(\displaystyle{ (0,1)}\) minimum lokalne.